数值分析上机题(matlab版)(东南大学)

数值分析上机报告

第一章

一、题目

精确值为

1311( )。 22NN 1

1) 编制按从大到小的顺序SN 2) 编制按从小到大的顺序SN

111

，计算SN的通用程序。

22 132 1N2 1

111

，计算SN的通用程

N2 1(N 1)2 122 1

序。

3) 按两种顺序分别计算S102,S104,S106,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？

二、通用程序

三、求解结果

四、结果分析

可以得出，算法对误差的传播又一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数算所得到的结果才比较准确。

第二章

一、题目

（1）给定初值x0及容许误差 ，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。

3

（2）给定方程f(x) x x 0,易知其有三个根x1

,x2 0,x3

a) 由牛顿方法的局部收敛性可知存在 0,当x0 ( , )时，Newton迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的 。

b)试取若干初始值，观察当x0 ( , 1),( 1, ),( , ),( ,1),(1, )时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？

二、通用程序

1.运行search.m文件

结果为：

The maximum delta is 0.774597

*

即得最大的δ为0.774597，Newton迭代序列收敛于根x2=0的最大区间为（-0.774597，

0.774597）。

2.运行Newton.m文件

在区间( , 1),( 1, ),( , ),( ,1),(1, )上各输入若干个数，计算结果如下：

区间( , 1)上取-1000，-100，-50，-30，-10，-8，-7，-5，-3，-1.5

*

结果显示，以上初值迭代序列均收敛于-1.732051，即根x1。

在区间( 1, )即区间（-1，-0.774597）上取-0.774598，-0.8，-0.85，-0.9，-0.99，计算结果如下：

**

计算结果显示，迭代序列局部收敛于-1.732051，即根x1，局部收敛于1.730251，即根x3。

在区间( , )即区间（-0.774597，0.774597）上，由search.m的运行过程表明，在整

*

个区间上均收敛于0，即根x2。

在区间( ,1)即区间（0.774597，1）上取0.774598，0.8，0.85，0.9，0.99，计算结果如下：

计算结果显示，迭代序列局部收敛于-1.732051，即根x1，局部收敛于1.730251，即根x3。

区间(1, )上取100，60，20，10，7，6，4，3，1.5，计算结果如下:

*

结果显示，以上初值迭代序列均收敛于1.732051，即根x3。

综上所述：(-∞,-1)区间收敛于-1.73205,(-1,δ)区间局部收敛于1.73205,局部收敛于-1.73205,(-δ,δ)区间收敛于0,(δ,1)区间类似于(-1,δ)区间，(1,∞)收敛于1.73205。

通过本上机题，明白了对于多根方程，Newton法求方程根时，迭代序列收敛于某一个根有一定的区间限制，在一个区间上，可能会局部收敛于不同的根。

第三章

一、题目

列主元Gauss消去法对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI V。其中

000 10 31 13

0 110 1335 9

0 931 1000

0 1079 300 0

R 000 3057 7

000 747 0

00000 30

000 50 0

000 900

VT 15,27, 23,0, 20,12, 7,7,10

T

0 0

0 000 0

00 90 5 0

300 0410 0

027 2

90 22

（1） 编制解n阶线性方程组Ax b的列主元高斯消去法的通用程序； （2） 用所编程序线性方程组RI V，并打印出解向量，保留5位有效数；

二、通用程序

%% 列主元Gauss消去法求解线性方程组%% %%参数输入

n=input('Please input the order of matrix A: n='); %输入线性方程组阶数n b=zeros(1,n);

A=input('Input matrix A (such as a 2 order matrix:[1 2;3,4]) :'); b(1,:)=input('Input the column vector b:'); %输入行向量b b=b';

C=[A,b]; %得到增广矩阵 %%列主元消去得上三角矩阵

for i=1:n-1 [maximum,index]=max(abs(C(i:n,i))); index=index+i-1; T=C(index,:); C(index,:)=C(i,:); C(i,:)=T;

for k=i+1:n %%列主元消去 if C(k,i)~=0

C(k,:)=C(k,:)-C(k,i)/C(i,i)*C(i,:); end end

end

%% 回代求解 %% x=zeros(n,1);

x(n)=C(n,n+1)/C(n,n); for i=n-1:-1:1

x(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/C(i,i); end

A=C(1:n,1:n); %消元后得到的上三角矩阵

disp('The upper teianguular matrix is:') for k=1:n

fprintf('%f ',A(k,:)); fprintf('\n'); end

disp('Solution of the equations:'); fprintf('%.5g\n',x); %以5位有效数字输出结果

以教材第123页习题16验证通用程序的正确性。执行程序，输入系数矩阵A和列向量b，结果如下：

结果与精确解完全一致。

三、求解结果

执行程序，输入矩阵A（即题中的矩阵R）和列向量b(即题中的V)，得如下结果：

由上述结果得：

第四章

一、题目

二、通用程序

三、求解结果

1、数据输入 Input n: n=10

Input x:[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

Input y:[2.51 3.30 4.04 4.70 5.22 5.54 5.78 5.40 5.57 5.70 5.80] Input the derivative of y(0):0.5 Input the derivative of y(n):0.2 2、计算结果