28.1.2锐角三角函数(第2课时)

复习回顾:如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记住sinA 即 B 斜边 A 当∠A=30°时，我们有

A的对边 a sin A 斜边 c1 2

cb

a 对边 C

sin A sin 30 当∠A=45°时，我们有

在图中 ∠A的对边记作a

2 sin A sin 45 2

∠B的对边记作b ∠C的对边记作c

探究

情境探究B

如图，在Rt△ABC中，∠C =90°,当锐角A确定时， ∠A的对边与斜边的比就随 之确定，此时，其他边之 间的比是否也确定了呢？ 为什么？

斜边c 对边a

A

邻边b

C

当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比 也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine), 记作cosA,即 A的邻边 b

cos A

斜边

c

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作tanA,即

tan A

A的对边 a A的邻边 b

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

例题示范3 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,sinA= 5 ,求 cosA、tanB的值.

B

解：∵

BC sin A ABA

6

BC 5 AB 6 10 sin A 3又

C

AC AB2 BC2 102 62 8

AC 4 AC 4 cos A , tan B AB 5 BC 3

例题示范变题： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,cosA=

sinA、tanA的值. 解：∵

15 ,求 17

B

AC 15 cos A AB 17A C

设AC=15k,则AB=17k所以 BC

AB 2 AC 2 (17k ) 2 (15k ) 2 8k

BC 8k 8 sin A , AB 17 k 17 BC 8k 8 tan A AC 15k 15

练

习

1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. C 解：由勾股定理

BC AB AC 13 12 5 BC 5 B sin A AB 132 2 2 2

12

13

A

AC 12 cos A AB 13

BC 5 tan A AC 12

AC 12 sin B AB 13 BC 5 cos B AB 13 AC 12 tan B BC 5

3 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,tanA= 4求：sinA、cosB的值. 解： tan A

,

BC 3 AC 4 ∵AC=8

B

BC

3 3 AC 8 6 4 4

C

8

A

AB AC 2 BC2 82 62 10BC 6 3 sin A AB 10 5

BC 6 3 cos B AB 10 5

例题示范例2: 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° 1.求证：sinA=cosB,sinB=cosA 2.求证：tan A B

sin A cos A

3.求证：sin

2

A cos 12

A

C

注:千万记住结论哦!

1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100 倍,tanA的值( C ) A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A 2、下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.指 B

C

出∠A和∠B的对边、邻边. BC CD 1 tanA AC (AD ) (AC ) CD 2 tanB BC (BD)

D

B

A

C

1.(2011·湖州中考)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=1,AC=2,则tanA的值

为( A.2 B. 1 C.5 5

) D.2 5 5

2

【解析】选B.根据正切的函数定义，角A的正切应是它的对

边与邻边的比，所以B是正确，A是∠B的正切；C和D都错.

2.(2010·黄冈中考)在△ABC中，∠C=90°,sinA= 4 则tanB=( B )4 3 3 4 B. C. D. 3 4 5 5 3.(2010·丹东中考)如图，小颖利用有一 A.5

C 30 A ° B

个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，

已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离),那 么这棵树高是( A )A.( 5 3 3 )m 3 2 3 B.(5 3 )m 2 C. 5 3 m 3

D E

D.4m

5.(2010·东阳中考)如图，为了测量河两岸A.B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a,∠ACB=α , 那么AB等于( A.a·sinα C.a·cosα ) B.a·tanα D.a tan A

aα

C

B

【解析】选B.在Rt△ABC中，tanα=

AB AC

所以AB=a·tanα

小结如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，BC sin A , cos A AB AC sin B , cos B AB AC , tan A AB BC , tan B AB BC AC AC BC

因为0<sinA <1, 0<sinB <1,

sin A cos B cos A sin B 1 tan A tan BB

0<cosA <1, 0<cosB <1, tan A>0, tan B>0 所以，对于任何一个锐角α ,有 0<sin α <1,0<cos α <1, tan α >0,2 2

A

C

sin cos 1