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解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得

121

d +＝

1812d d

++，

解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n .

(Ⅱ)由（Ⅰ）知2m

a =2n

，由等比数列前n 项和公式得

S m =2+22

+23

+ (2)

=

2(12)12

n

--=2n+1-2.

（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）

已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且

121

2

112(

)a a a a +=+，3453

4

5

11164(

)a a a a a a ++=++

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2

1()n n n

b a a =+

，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

【解析】本题考查了数列通项、前n 项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于

1

a 与d 的方程求得

1

a 与d ，可求得数列的通项公式。

（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。

（2010江西理数）22. （本小题满分14分） 证明以下命题：

（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得222

a b c ，，成等差数列。

（2） 存在无穷多个互不相似的三角形△n ，其边长n n n a b c ，，为正整数且222

n n n

a b c ，，成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证222

2a c b +=，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值222

1,5,7满足等差数列，只需取b=5a ，c=7a ，对一切正整数a 均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当222n n n a b c ，，成等差数列，则2222

n n n n b a c b -=-，

分解得：()()()()n n n n n n n n b a b a c b c b +-=+-