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(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A

l

=--=-= (,)(,)d B C d B A C

A h

=

-

-=

所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的

个数为l 。

设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，

即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。

（III ）2

,1()(,)A B P

m d P d A B C

∈=

∑

,其中

,(,)A B P

d A B ∈∑

表示P 中所有两个元素间距离的总和，

设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0

则

,(,)A B P

d A B ∈∑

=1

()n

i i i t m t =-∑

由于i t ()i m t -2

(1,2,...,)4

m

i n ≤

=

所以

,(,)A B P

d A B ∈∑

2

4

nm ≤

从而2

2

2,1()(,)42(1)

A B P

m m

nm m n d P d A B C

C

m ∈=

≤

=

-∑

（2010四川理数）（21）（本小题满分12分）

已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有 a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2 （Ⅰ）求a 3，a 5；

（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *

)，证明：{b n }是等差数列；

（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.

解：(1)由题意，零m ＝2,n －1,可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6

再令m ＝3,n ＝1，可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20………………………………2分 (2)当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得