高数下期中考试(10-11)试卷及解答

时间:2025-07-09

高数下练习和答案

广东工业大学试卷用纸,共 5 页,第 1 页

一、填空题(每题3分分) .已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x ,sin cos ==

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广东工业大学试卷用纸,共 5 页,第 3 页 解:两边微分得 )()(21y

z d f x z

d f dx '+'= 2分 2221y

z d y y d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 2

2122222121222)('+''+'+''+= 6分

四、计算下列各题(每题7分,共28分)

1.计算D x ⎰⎰,其中D是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域

: 20031441

2000:1112(1)312123

11)18y D

x

x dx y y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解

2.计算⎰⎰D

dxdy xy }1,max{,其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D

.解:曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D

21,221:1≤≤≤≤y x x D ;x y x D 10,221:2≤≤≤≤;20,210:3≤≤≤≤y x D 2分

⎰⎰D dxdy xy }1,max{=dxdy xy D ⎰⎰1+⎰⎰2D dxdy +⎰⎰3

D dxdy =2

121022121221⨯

++⎰⎰⎰⎰x x dy dx xydy dx 6分 =2ln 4

19+ 7分 3.设Ω是曲线⎩

⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域,求

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广东工业大学试卷用纸,共 5 页,第 4 页 ⎰⎰⎰+=Ω

dv y x I )(22。

解:Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成,在柱坐标系下

Ω:82,

40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分 ⎰⎰⎰

=82240202ρπ

ρρρθdz d d I 5分 =π3

1024 五、设),(y x f 连续,且⎰⎰+

=D dudv v u f xy y x f ),(),(,其中D 是由0=y ,2x y =,1=x 所围成区域,求),(y x f (6分)

五、解:设A dxdy y x f D =⎰⎰),(,则⎰⎰⎰⎰+=D

D dxdy A dxdy xy A

2分

A xydy dx A x 31201

0+=⎰⎰⇒8

1=A 5分 从而 8

1),(+

=xy y x f 6分 六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5

302222z y x z y x ,求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。(7分)

六、解:设曲面上点),,(z y x 到xoy 面的距离为z ,则问题等价于求函数2

z H = 在条件02222=-+z y x 与053=-++z y x 下的最大值和最小值点。 令 )53()2(),,,,(2

222-+++-++=z y x z y x z z y x L μλμλ

2分 由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==+==+=0

530203*********z y x L z y x L z z L y L x L z y x μλμλμλμλ得y x =, 5分

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广东工业大学试卷用纸,共 5 页,第 5 页 从而得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=555z y x 或⎪⎩

⎪⎨⎧===111z y x 6分

由几何意义,在C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点,故点)5,5,5(--和)1,1,1(即为所求的点。 7分

七、试证当λ<2时,函数y x x e y x f y 2cos cos sin )1() ,(--=λ在原点有极小值。(6分)

证明、令02cos sin cos )1(),(=+-=y x x e y x f y x λ

02s i n c o s 2s i n ),(=+=y x x e y x f y y λ 显然)0,0(为驻点

又 y x x e y x f y xx 2cos cos sin )1(),(+--=λ y x x e y x f y xy 2sin sin 2cos ),(-=λ

y x x e y x f y yy 2cos cos 4sin ),(+=λ

在)0,0(处,41===C B A λ

224λ-=-B AC 当

2<λ,02>-B AC ,所以函数),(y x f 在原点有级小值。

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