高考数学总复习 第十一章 第二节直线与圆的位置关系课时精练 理(1)
时间：2026-01-22
1 第二节 直线与圆的位置关系
1．(2013·韶关二模) 如图所示，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD ＝8，则⊙O 的半径等于________．
解析：由射影定理知CD 2＝BD ·AD ，所以AD ＝2
，所以圆的半径为12AB ＝AD ＋DB 2
＝5. 答案：
5
2．(2013·湖北卷)如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE
EO
的值为__________．
解析：由射影定理知CE EO ＝
CD 2OD 2＝AD ·BD OA －AD 2＝AD ·（AB －AD ）⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB －AD 2＝8.
答案：8
3．如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，圆O 经过B ，C 且与AB ，AC 分别相交于D ，E .若AE ＝EC ＝23，则圆O 的半径R ＝________.
2 解析：连接BE ，因为∠C ＝90°，所以BE
为圆O 的直径．因为∠A ＝30°，AC
＝43，所以BC ＝4.在Rt△BCE 中，由勾股定理得BE ＝27，所以圆O 的半径R ＝7.
答案：7
4．如图所示，已知圆O 的直径AB ＝6，C 为圆O 上一点，且BC ＝2，过点B 的圆O 的切线交AC 的延长线于点D ，则DA ＝________.
解析：由题意知三角形ABC 为直角三角形，由勾股定理，得AC ＝2，又在直角三角形ABD
中，∠ABD 为直角，BC 为斜边AD 上的高，所以BC 2＝AC ·CD ，所以CD ＝1，所以DA ＝AC ＋CD
＝3.
答案：3
5．如图，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝2，BC ＝6，∠CAB ＝2π3
，则∠AOB 对应的劣弧长为__________．
解析：连CO ，因为∠CAB ＝2π3，所以AB 优弧所对的圆心角为4π3，从而∠BOC ＝2π3，在等腰三角形BOC 中可求得半径OB ＝2，因为AB ＝2，所以△AOB 为等腰直角三角形，所以
∠AOB 对应的劣弧长为2π2
.
答案：
2π
2
6．如图，AB是圆O的直径，AD＝DE，AB＝8，BD＝6，则
AD
AC
＝________.
解析：因为AD＝DE，所以∠ABD＝∠DAE.又∠ADC为公共角，所以△ADC∽△BDA.所以
AD
AC ＝
BD
AB
＝
6
8
＝
3
4
.
答案：
3
4
7．如图所示，AB是圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，连接CD.若∠APB＝120°，则
CD
AB
等于________．
解析：连接AC，依题意∠APC＝60°，因为AB是圆O的直径，所以∠ACP＝90°.所以cos ∠APC＝
PC
PA
＝
1
2
.又△PA B∽△PCD，所以
CD
AB
＝
PC
PA
＝
1
2
.
答案：
1
2
8．(2013·揭阳二模)如图，C、D是半圆周上的两个三等分点，直径AB＝4，CE⊥AB，垂足为E，BD与相交于点F，则BF的长为__________．
3
4
解析：连接AD ，依题意知∠
DBA ＝30°，则AD ＝2，过点D 作DG ⊥AB 于G ，则AG ＝BE
＝1，所以BF ＝BE cos 30°＝233
. 答案：233
9．如图所示，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________________.
解析：连接AD .在Rt△
ABD 中，DE ⊥AB ，所以DE 2＝AE ·EB ＝5.在Rt△EBD 中，EF ⊥DB ，
所以DE 2＝DF ·DB ＝5.
答案：5
10．如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕着点O 逆时针旋转60°到OD ，PD 交圆O 于点E ，则PE 的长为________．
答案：377
11．(2013·陕西卷)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝__________.
5
解析：因为BC ∥PE ，所以∠BCD ＝∠PED ，且在圆中，由∠BCD ＝∠BAD 得∠PED ＝∠BAD ，
所以△EPD ∽△APE
，于是PE PA ＝PD PE ， 得PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6. 答案： 6
12．如图所示，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于
点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32
，则线段CD 的长为________．
解析：由相交弦的性质可得AF ·FB ＝EF ·FC ，
∴FC ＝AF ·FB EF ＝3×13
2
＝2. 又∵FC ∥BD ，∴AC AD ＝FC BD ＝AF AB ＝34，即BD ＝83
， 由切割定理得BD 2＝DA ·DC ＝4DC 2，解之得DC ＝43
. 答案：43
13．(2013·天津卷)如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．
6
解析：设EB ＝x ，则ED ＝x ＋5，
由切割线定理知x (x ＋5)＝62
，所以x ＝4.
因为AC ∥ED ，所以AB ＝CD ，又AB ＝AC . 所以∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∠1＝∠3，∠3＝∠6.
所以∠1＝∠6，所以AE ∥BC ，即EBCA 为平行四边形．
所以AC ＝EB ＝4，BC ＝6，由△AFC ∽△BFD .
所以AC BD ＝CF 6－CF .即45＝CF 6－CF ，所以CF ＝83
. 答案：83
14．如图所示，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；
(2)AC ＝AE .
．证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB .
同理∠ACB ＝∠DAB .
所以△ACB ∽△DAB .
7 从而AC AD ＝AB BD
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