【高教版】中职数学拓展模块：3.2《二项式定理》教学设计

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一、 定义：

n n

n r r n r n n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C ++++++=+--- 222110)(

)(*N n ∈，

这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数),,2,1,0(n r C r n = 叫做二项式系数，第1+r 项叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示；r r n r

n r b a T C -+=1叫做二项展开式的通项

公式．

二、 二项展开式的特点与功能 1. 二项展开式的特点

项数：二项展开式共1+n （二项式的指数+1）项；

指数：二项展开式各项的第一字母a 依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b 依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n ；

系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b 的幂指数；

2. 二项展开式的功能

注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a ，b

不同的取值，则二项

知识内容

二项式定理

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式展开式演变成一个组合恒等式．因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据．

又注意到在b b a )(+的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列．因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据． 三、

二项式系数的性质

1. 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．

2. 单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间

（项）取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C n n

2最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数C

n n

21

-,C

n n

21+ 相等，且最大．

3. 组合总数公式：n n

n n n n C C C C 22

1

=++++ 即二项展开式中各项的二项式系数

之和等于n 2．

4. “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项

式系数之和，即15

3

1

4

2

2-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ．

例题练习

1. 二项式定理及其展开式

【例1】 求5)1

(x x +的展开式．

【解析】

5)1(x x +=5

05

541453235232514150505)1()1()1()1()1()1(x x x x x x x x x x x x C C C C C C +++++ =5x +53x +10x +10x 1+531x +51

x

【例2】 0．9915的近似值（精确到0.001）是

【解析】0．9915=(1-0．009)5=1-5×0．009+10×(0.009)2 … ≈1-0.045+0．00081≈0.956

【例3】 求证：（1）11--n n 能被2)1(-n 整除)3,(≥∈n N n ；

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【证明】为利用二项式定理，对1-n n 中的底数n 变形为两数之和（或差）． ∵ 3≥n ，且N n ∈， ∴11)]1(1[---+=n n n n 于是有 1)]1(1[111--+=---n n n n

()()()2

1

121

111112...11n n n n n C n C n C n -----⎡⎤=+-+-++--⎣

⎦

()()()

21

121

11112...1n n n n n C n C n C n -----=-+-++-

()()()23231111111...1n n n n n n C C n C n -----⎡⎤=-++-++-⎣⎦

(※) 注意到3≥n ，且N n ∈ ，故()()

3

231

11111...1n n n n n C C n C n N --*---++-++-∈

因此由(※)式知11--n n 能被2)1(-n 整除；

2. 二项式系数

【例4】 在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）

A ． –14

B ． 14

C ． –28

D ． 28

【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，

8)1)(1(+-x x =8888)1()1()1()1(x x x x x x +-+=+-+⋅ ，又8)1(x +的展开式中4

x 的系数为C 48，5x 的系数为C 5

8．

∴ 原展开式中5x 的系数为143

84

85

84

8=-=-C C C C ，应选B ．

【例5】 设1,2,3,4,5,k =则5)2(+x 的展开式中k x 的系数不可能是（ ）

A ． 10

B ． 40

C ． 50

D ． 80 【分析】立足于二项展开式的通项公式：)5,,2,1,0(2551 ==-+r x T r r r

r C

∴ 当k=1时，r=4，1x 的系数为80244

5=⋅C ； 当k=2时，r=3，2x 的系数为80233

5=⋅C ； 当k=3时，r=2，3x 的系数为402225=⋅C ； 当k=4时，r=1，4x 的系数为102115=⋅C ． ∴ 综上可知应选C ．

【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式．

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【例6】 在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，3x 的项的系数为（ ）

A ． 74

B ． 121

C ． –74

D ． –121 【分析】考虑求和转化，原式x

x x x x x 9

545)1()1()1(1])1(1[)1(---=-----= 又5)1(x -的展开式中4x 系数为C 45 ，9)1(x -的展开式中4x 系数为C 4

9 ∴ 原展开式中3x 项的系数为1214945-=-C C ，应选D ．

【例7】 已知n x x )21

(3- )(*∈N n 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求： …… 此处隐藏：1186字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……