郭老师 第八次复习课三角形知识点

判定三条边能否构成三角形的依据

△ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知： ③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a

定理：三角形任意两边的和大于第三边。

由②、③得 b―a＜c，且b―a＞―c

故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。

从而得到推论：

三角形任意两边的差小于第三边。

上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。

判定三条边能否构成三角形

对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。

在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。

证明三角形的内角和定理

除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路：

方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，

运用平行线的性质，可得∠B＝∠2，

∠C＝∠1，从而证得三角形的内角

和等于平角∠DAE。

方法2 如图，在△ABC的边BC上任取

一点D，过D作DE‖AB，DF‖AC，

分别交AC、AB于E、F，再运用平行

线的性质可证得△ABC的内角和等于

平角∠BDC。

三角形按角分类

根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角。

三角形按角可分类如下：

根据三角形的内角和定理可有如下推论：

推论1 直角三角形的两个锐角互余。

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

同时我们还很容易得到如下几条结论：

（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。

（2）一个三角形至少有两个内角是锐角。

（3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。

(4) 三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。 全等三角形的性质

全等三角形的两个基本性质

（1）全等三角形的对应边相等。

（2）全等三角形的对应角相等。

确定两个全等三角形的对应边和对应角

怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角？其方法主要可归结为：

（1）若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。

（2）若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角。

（3）两个对应角所夹的边是对应边。

（4）两个对应边所夹的角是对应角。

由全等三角形的定义判定三角形全等

由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等，需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中，利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。

判定两个三角形全等的边、角、边公理

内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（即SAS）。

这个判定方法是以公理形式给出的，我们可以通过实践操作去验证它，但验证不等于证明，这点要区分开来。

公理中的题设条件是三个元素：边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。不能理解成两边和其中一个角相等。否则，这两个三角形就不一定全等。

例如 在△ABC和△A′B′C′中，

如右图，AB=A′B′，∠A=∠A′，

BC=A′C′，但是△ABC不全等于

△A′B′C′。

又如，右图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。

原因就在于两边和一角对应相等不是

公理中所要求的两边和这两条边的夹

角对应相等的条件。

说明：从以上两例可以看出，SAS≠SSA。

判定两个三角形全等的第二个公理

内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）。

这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。

公理强调了两角和这两角的夹边对应相等，这里实质上包含了一个顺序关系。千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边，而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。

如右图，在△ABC和△A′B′C′中，

∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，

但这两个三角形显然不全等。原因就是

没有注意公理中“对应”二字。

公理一中的边、角、边，其顺序是不能改变的，即SAS不能改为SSA或ASS。而ASA 公理却能改变其顺序，可改变为AAS或SAA，但两个三角形之间的“对应”二字不能变。同时 …… 此处隐藏：983字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……