苏教版高中数学必修四2.3.2《平面向量的坐标运算》课件

平面向量的坐标运算(一)ya

O

x

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引入:

1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?

yb

aA(a,b)

O

a

x

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3.复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2. 什么叫平面的一组基底?

不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所 有向量的一组基底.平面的基底有多少组? 什么叫向量的正交分解? 向量a分解到 e1,e2上得a=λ 1e1+λ 2e2,当e1,e2 所在直线互相垂直时，这种分解称为正交分解。 无数组

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(一)平面向量坐标的概念 在直角坐标系内，我们分别 (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底.

y

(2)得实数对:以O点为起点作向量a, a j 由平面向量基本定理，有且只 有一对实数x、y,使得a=xi+yj. o i 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， 记作 a ( x, y )

y

(x,y)

x

x

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.

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平面向量的坐标表示： 把以下三个特殊向量的坐标是：

a = (x,

y)叫做向量的坐标表示Y

i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0)若两个向量相等则这两个向量的 那么起点不在原点的向量的坐标是 每个向量都有唯一的坐标. 什么呢？每个向量有几个坐标呢 对应坐标也相等;反之对应坐标 ? 相等的两个向量一定是相等向量.

jO

每个向量都有唯一的坐标.如果a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 那么a b x1 x2 ,且y1 y2

i

a

X

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y A(x,y)

如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作 OA a ,则点A的 位置由 a 唯一确定。a

y

jO

a i xx

设 OA xi y j,则向量 OA 的坐标 (x,y)就是点A的坐标；反过来，

点A的坐标(x,y)也就是向量 OA的坐标。因此，在平面直角坐标

系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。又因为0A = a ,所以a的坐标就是( x,y)

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例1.用基底 i , j 分别表示向量a , b , c , d,并求出它们的坐标.

b

y 5 4 3 2 1-2 -1O

B

aA

j

-4 -3

-1 -2

i1

2

3

4

x

c

d

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练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.

(1)a (1, 2)看书本例1

(2)b ( 1, 2)

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(二)平面向量的坐标运算：请同学们讨论回答：问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.

(1)a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a b ( x1 x2 , y1 y2 )

(2) a ( x, y)结论1:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 结论2:实数与向量数乘积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.

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再来研究刚才的题目

b

y 5 4 3 2 1-2 -1O

B

a 2i 3 j (2 , 3) A(2

, 2) B(4 , 5)x

aA

j

-4 -3

-1 -2

i1

2

3

4

c

d

向量AB的坐 标等于B点的 坐标减去A点 的坐标。

问 :设 a AB, a 的坐标与 A、B的坐标有何关系?

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(3)已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,求 AB的坐标.从向量运算的角度 A(x1,y1)

yB(x2,y2)

AB OB OA ( x2, y2 ) ( x1 , y1 ) ( x2 x1 , y2 y1 )

O

x

结论 3: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。

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例 2: (1)已知a (2,1), b ( 3, 4),

求a b, a b, 3a 4b的坐标

(2)已知A(2,3), B ( 3,5), 求BA 的坐标.

已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.

已知AB (1, 2), B(2,1), 求A的坐标.

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例3:已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4), 求顶点D的坐标。y B(-1,3)) A(-2,1)-6 -4 -2 4 3

C(3,4)

2

D(x,y)

1

O-1 -2

2

4

6

x

-3

-4