高中数学课件 椭圆第一课

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数学实验[1]取一条细绳， [2]把它的两端固定在板上 的两点F1、F2 [3]用铅笔尖(M)把细绳 拉紧，在板上慢慢移动观察 画出的图形

观察做图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间 的距离。

[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。

M F1 F2

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1、椭圆的定义平面上到两个定点F1、F2的距离的和(2a)等于 常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。M

F1

F2

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P

说明1、平面上这一个条件不可少

F1

F2

2、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为2a; 两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即:F1F2=2c. 3、2a> F1F2 注意：若2a=F1F2轨迹是什么呢？ 若2a<F1F2轨迹是什么呢？

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探究 设定点F (-3,0),F (3,0),动点P(x,y) 满足条件|PF1|+|PF2|=m(m>0), 当m分别取下列各值时，动点P的轨 P 迹是什么?1 2

(1)m=6.1 (2)m=6 (3)m=5.9

F1

F2

F1 F2 轨迹不存在

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1、椭圆的定义平面上到两个定点F1、F2的距离的和(2a)等于常 数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。 M

椭圆 小 结

(2a>2c)

F1

F2

线段

(2a=2c)

F1

F2

不存在 (2a<2c)

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建立直角坐标系xoy,使x 轴经过点 F1 , F2 ,并且点o与线段

F1 F2 2C , 那么F1 , F2的坐标分别是 c ,0 , c ,0 由椭圆的定义

F1 F2的中点重合 ，设M(x,y)是椭圆上任意一点

y

P M | MF1 MF2 2a MF1

M(x,y)F2x

x c

2

y2

MF2

x c

2

y2

F1 o

x c 2 y 2 x c 2 y 2

c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 由椭圆的定义知 2a>2c 即 a>c 代入上式得 a2 c2 0 令a 2 c 2 b 2 b 0 2

a

2a

得b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2

x2 y2 得 2 2 1 a b

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2.椭圆的标准方程 yF1 O F2

yF1

x

O F2

x

方 程

特点

y2 x2 2 1 2 a b (1)方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1; (2)在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0; (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上； (4)a、b、c都有特定的几何意义，a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.有关系式 a 2 b 2 c 2成立。

x2 y2 1 2 2 a b

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填空：

x y 3 2 1中, a=___,b=___, (1) 在椭圆 9 4x ( 5 ,0), ( 5 ,0) 焦点位于____轴上，焦点坐标是__________.4 (2) 在椭圆 16x 7 y 112 中，a=___, b=___, 72 2

2

2

y (0, 3), (0,3) 焦点位于____轴上，焦点坐标是__________.

x y 1 7 16

2

2

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求适合下列条件的椭圆的标准方程：

1)a=4,b=1,焦点在x轴上；

x y2 1 16y2 x2 1 16 15

2

2)a=4,c=1,焦点在y轴上；

x2 y2 3)b=1,c= 15,焦点在坐标轴上； y 2 1或

x2 1 16 16

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例题判定下列椭圆的焦点在哪个轴？并指明a2、b2、 c2, 写出焦点坐标.2 2

x y (1) 1 答：焦点在 x 轴；(-3,0)和(3,0) 25 16x y (2) 1 144 1692 2

答：焦点在 y 轴；(0,-5)和(0,5)

x y (3) 2 2 1 m m 1

2

2

答：焦点在y 轴；(0,-1)和(0,1)

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练习x y 如果椭圆 1上一点M到焦点F1的距离 100 36 等于6,则点M到另一个焦点 2的距离为( ) F A.10 B .12y2 2

C .14

D .16

MF2x

F1 o

由方程知 a=10, 所以 2a=20, 由椭圆定义： |MF1|+|MF2|=2a=20 故|MF2|=20-|MF1|=14.

答案：C.

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总结 1.椭圆的定义：平面上到两个定点的距离的和(2a)等 于定长(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2 叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。2.椭圆的标准方程 yF1

yF1

O

F2

x

O

F2

x

x2 y2 2 1 a b 0) ( 2 a b

y2 x2 2 1 a b 0) ( 2 a b

3.椭圆方程的求法：直接代入法，待定系数法