第六章回归分析_误差理论与数据处理(费业泰)
时间：2026-01-17
回归分析_误差理论与数据处理(费业泰)
第6章 回归分析
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误差理论与数据处理
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主要内容第一节 回归分析的基本概念 函数与相关 回归分析思路 第二节 一元线性回归 回归方程的确定 回归方程得方差分析及显著性检验 重复试验情况 回归直线的简便求法 第三节 一元非线性回归 求解思路 回归曲线函数类型得选取和检验 化曲线回归为直线回归问题合肥工业大学 误差理论与数据处理
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第一节 回归分析的基本概念一、函数与相关函数关系：可以用明确的函数关系式精确地表示 出来 相关关系：这些变量之间既存在着密切的关系， 又不能由一个(或几个)自变量的数 值精确地求出另一个因变量的数值，而 是要通过试验和调查研究，才能确定它 们之间的关系。
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第一节 回归分析的基本概念二、回归分析思路1、由数据确定变量之间的数学表达式-回归方程或经 验公式； 2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。
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第二节 一元线性回归一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
一、回归方程的确定例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：19.1 76.30 25.0 77.80 30.1 79.75 36.0 80.80 40.0 82.35 46.5 83.90 50.0 85.10
散点图：
84 82 80 78 76 2025 30 35 40 45 50 误差理论与数据处理
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第二节 一元线性回归从散点图可以看出：电阻与温度大致成线性关系。 设测量数据有如下结构形式：yt = β0 + βxt + εt , t = 1,2,L, N
式中，ε1,ε2 ,L,ε N 分别表示其它随机因素对电阻值 y1, y2 ,L, yN 影响的总和。 思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出 β0 和 β 的估计值。根据测量数据，可以得到 7个测量方程，结合前面所学，未知数有两个， 而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小 二乘法求解。合肥工业大学 误差理论与数据处理
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第二节 一元线性回归设得到的回归方程
y = b0 + bx残差方程为 vi = yt y = yt b0 bxt , t = 1,2,L, N
根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令 y1 y2 Y = M y N 合肥工业大学
1 1 X = M 1
x1 x2 M xN
= b0 b b
v1 v2 V = M v N
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第二节 一元线性回归则误差方程的矩阵形式为 Y Xb = V 对照 V = L AX ,设测得值 yt 的精度相等，则有
b = ( X T X ) 1 X T Y
将测得值分别代入上式，可计算得b= N∑xt yt (∑xt )(∑ yt )t =
1 t =1 t =1 N N N
N∑xt (∑xt )22 t =1 t =1
N
N
=
lxy lxx
,
b0 =
(∑x )(∑ yt ) (∑xt )(∑xt yt )t =1 2 t
N
N
N
N
N∑xt2 (∑xt )2t =1 t =1
t =1 N
t =1 N
t =1
= y bx
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第二节 一元线性回归其中1 N x = ∑xt N t =1 1 N y = ∑ yt N t =1 1 N lxx = ∑(xt x) = ∑xt (∑xt )2 N t =1 t =1 t =12 2 N 1 N lxy = ∑(xt x)( yt y) = ∑xt yt (∑xt )(∑ yt ) N t =1 t =1 t =1 t =1 N N N N
1 N lyy = ∑( yt y)2 = ∑ yt (∑ yt )2 N t =1 t =1 t =12
N
N
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第二节 一元线性回归二、回归方程的方差分析及显著性检验问题：这条回归直线是否符合y 与x之间的客观规 律回归直线的预报精度如何？ 解决办法： 方差分析法—分解N个观测值与其算术平均值之差 的平方和；从量值上区别多个影响因素；用F检验 法对所求回归方程进行显著性检验。
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第二节 一元线性回归(一)回归方程的方差分析 1、引起变差的原因： A、自变量x取值的不同； B、其它因素(包括试验误差)的影响。 2、方差分析 总的离差平方和(即N个观测值之间的变差)S = ∑( yt y)2 = lyyt =1 N
ν S = N 1
可以证明：合肥工业大学 误差理论与数据处理
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第二节 一元线性回归S=U+Q 其中U = ∑( yt y)2 = blxyt =1 N
νU = 1νQ = N 2
Q = ∑( yt yt )2 = lyy blxyt =1
N
U—回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关 系而引起 y变化的部分。 Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。合肥工业大学 误差理论与数据处理
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第二节 一元线性回归(二)回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越 大Q越小说明y与x的线性关系愈密切。 计算统计量FF= U /νU Q /νQ
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