曲面方程 空间曲线 平面方程 空间直线

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第七章空间解析几何(II)一 平面及其方程 二 直线及其方程 三 二次曲面及一般曲面

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一、平面及其方程(一) 平面的点法式方程

设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向量 n ( A , B , C ) , 求该平面 的方程.任取点 M ( x, y, z ) , 则有M 0M n

z O xM

nM0

故

M 0M n 0

y

A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0

①

称①式为平面 的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.目录 上页 下页 返回 结束

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(二) 平面的一般方程设有三元一次方程Ax B y C z D 0 ( A B C 0 )2 2 2

②

任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则A x0 B y0 C z0 D 0

以上两式相减 , 得平面的点法式方程

显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.目录 上页 下页 返回 结束

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Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )2 2 2

特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量n (0, B, C ) i,

平面平行于 x 轴;

A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; C z + D = 0 表示 平行于 xOy 面 的平面; A x + D =0 表示 平行于 yOz 面 的平面； B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.目录 上页 下页 返回 结束

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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为

时,平面方程为x a y b z c 1 (a , b , c 0)

此式称为平面的截距式方程. (P260 例1)

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(三) 两平面的夹角两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为cos n1 n2 n1 n2

n1

n2

2

1

即cos 2 A1

A1 A2 B1 B2 C1C2 2 B1 2 C1

A2 B2 C2目录

2

2

2

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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 ) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )

cos

n1 n2 n1 n2

特别有下列结论：(1) 1 2 n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 (2) 1 // 2A1 A2 1

n2 n1

2

n1 // n2 B1 B2 C1 C2

n2 n1 2 1目录 上页 下页 返回 结束

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例 设

是平面

外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点P ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 1 d Prj n P P0 1

P P0 n 1 n

nP0

A( x0 x1 ) B ( y0 y1 ) C ( z 0 z1 ) A B C A x0 B y 0 C z 0 D A B C2 2 2 2 2 2

dP 1

d

(点到平面的距离公式)

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二 直线及其方程(

一) 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程A1 x B 1 y C 1 z D 1 0

z

(不唯一)

1

L

2

O

y

x

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(二) 点向式方程 已知直线上一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 和它的方向向量 设直线上的动点为 M ( x, y, z ) 则 故有x x0 m y y0 n z z0 pM 0 ( x0 , y 0 , z 0 )

sM ( x, y, z )

此式称为直线的点向式方程(也称为对称式方程)

说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.例如, 当 m n 0, p 0 时, 直线方程为 x x0 y y0

zy0

x目录

x0上页

O下页 返回 结束

y

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(三) 参数式方程 设x x0 m y y0 n z z0 p t

得参数式方程 :

说明: 过两个不同的点有且仅有一条直线。 设直线 L 过点 P1(x1,y1,z1),和 P2(x2,y2,z2),设P (x,y,z)为直线上任意 一点， P P2 // P P, 即 则 1 1t {x2 x1 , y2 y1 , z2 z1} {x x1 , y y1 , z z1}, 于是 m x2 x1 , n y2 y1 , l z2 z1.

x x0 m t y y0 n t z z0 p t

(P263 例1)目录 上页 下页 返回 结束

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(四) 线面间的位置关系1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 L1, L2 的方向向量分别为 L1

s1

则两直线夹角 满足cos s1 s2 s1 2

s2

L2

s2

m1m2 n1n2 p1 p2m1 n1 p12 2

m2 n2 p2目录 上页

2

2

2

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特别有:(1) L1 L2 s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0 (2) L1 // L2 s1 // s2m1 m2 n1 n2 p1 p2s2L1

s1L2

s2

s1

L1

L2

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2. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直

线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;当直线与平面垂直时,规定其夹角为 设直线 L 的方向向量为 s (m , n , p)ns

L

平面 的法向量为 n ( A , B , C )则直线与平面夹角 满足sin cos s , n s n s n A m Bn C p m n p2 2 2

A B C目录 上页

2

2

2

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特别有:(1) L (2) L //

s // n

A m

B n

C p

s n

Am B n C p 0

n

s< …… 此处隐藏：932字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……