1.4.1曲边梯形的面积与定积分

1.4.1曲边梯形的面积与定积分

我们知道，任一多边形都可以分割成一 些三角形，通过计算这些三角形面积的和， 就可以得到这个多边形的面积，是否可以 使用类似的方法计算由曲线围成的区域的 面积呢？下面我们举例研究这个问题.例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围 成的区域的面积。

解：将区间[0,1]等分成n个小区间，1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], ,[ , ], ,[ , ] n n n n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n ny1

x O1

解：将区间[0,1]等分成n个小区间，1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], ,[ , ], ,[ , ] n n n n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n ny1

过各分点作x轴的垂线， 把曲边梯形分成n个小曲 边梯形，再分别用小区间i 1 2 左端点的纵坐标 ( ) 为 n 1

高，△x= 形，

n

为底作小矩

x O1

于是图中曲线之下小矩形面积依次为1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n2

所有这些小矩形的面积的和为1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n2

1 2 2 1 n(n 1)(2n 1) 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] 3 n n 6 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n

1 1 1 1 lim lim 由此得到S= x 0 Sn x 0 (1 )(2 ) 6 n n 3

从图形上看，当n越来越大时，划分的 越来越细，阴影部分飞面积与曲边梯形 的面积相差越来越小，当n→+∞时，阴影 部分趋近于曲边三角形，因此可以将极 1 限值 视为此曲边三角形的面积。3

例2.弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成 正比，即力F(x)=kx(k是常数，x是伸长 量),求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx,本题F是克服弹簧拉力 的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx,b 将[0,b] n等分，记△x= , n 2b b 分点依次为x0=0,x1= ,x2= ,……, n n (n 1)b

xn-1=

n

,xn=b,

当n很大时，在分段[xi,xi+1]所用的力约b 为kxi,所做的功△W≈kxi· △x= kxi n

则从0到b所做的总功W近似地等于ib b kb Wi k n n n2 [0 1 2 (n 1)] i 0 i 0n 1 n 1 2

kb2 n(n 1) kb 2 1 2 (1 ) n 2 2 n

kb2 当n→+∞时，上式右端趋近于 2

于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为kb W lim Wi n 2 i 0n 1 2

以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.

1. 曲边三角形或梯形的面积S= nlim f ( xi ) x i 0 n 1

2.克服弹簧拉力

的变力所做的功

W= nlim f ( xi ) x i 0

n 1

类似地问题还很多，它们都可以归结为 求这种和式的极限，牛顿等数学家经过苦 心研究，得到了解决这类问题的一般方法。 求函数的定积分。

一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a,b]上的一个函数， 在闭区间[a,b]上任取n-1个分点a x0 x1 xi 1 xi xn b

把[a,b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1-xi,i=0,1,2,…,n-1,记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0,在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，

作和式In=

f ( ) xi 0 i

n 1

i

当λ→0时，如果和式的极限存在，我们 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b] 上的定积分，

记作

a

b

f ( x ) dx

其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量， [a,b]称为积分区间，a, b分别称为积分 的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时 称f(x)在区间[a,b]上可积。

利用积分的定义，前面提到曲边梯形 b 面积可简洁的表示为 f ( x)dxa

1 于是例1的结果可以写作 S 0 x dx 31 2

例2中克服弹簧拉力的变力所做的功kb W kxdx 0 2b 2

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条 连续的曲线，它与直线y=0,x=a,x=b所 围成的曲边梯形的面积客观存在，则f(x) 在[a,b]一定是可积的。