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第三章，平稳随机过程的n维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx不是t的函数。同样均方值也应是常数。（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao的函数。则称他们是联合宽平稳的。

第三章

Chapter 3 ==========================================

3.2 随机过程 t 为 t Acos 0t 式中，A具有瑞利分布，其概率密度为

PA a

a

2

e

a22 2

2 上均匀分布， 与 是两个相互独立的随机变量，，a 0， 在 0，

0为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:

2

a22

2

t

acos 0t

00

a

2

e

1a dad a2e2 0

a22

2

2

da

1

cos 0t d 0 02 0

a22 2

R t1，t2 t1 t2 acos 0t1 acos 0t2

00

2

1a

e2

2

dad

a

0

2

a

2

2

e

2

a22

2

da cos 0t1 cos 0t2

2

2

1 2

a2

2

ae

0

a21d（ 2 2 2 0

a2de

a22 2

11 cos 0 t2 t1 cos 0 t1 t2 2 d

2

a2 a2 1 1 22 2 2 2 2

cos 0 t2 t1 ae eda cos 0 t2 t1 0220 11

cos 0 t2 t1 2 2 cos 0 t2 t1 2cos 0 t2 t1 22

2 2 1de

a22 2

可见 t 与t无关，R t1，t2 与t无关，只与 t2 t1 有关。

t 是平稳过程

另解：

t E[Acos( 0t )] E A E[cos( 0t )] E[A]x0 0;

R(t,t ) EA2cos( 0t )cos( 0(t ) ) EA2E cos( 0t )cos( 0(t ) )

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EA2 E cos((2 0t 0 ) 2 ) cos( 0 ) 2 2

EA cos( 0 )

2

t 是平稳过程

3.3 设S(t) 是一个周期为T的函数，随机变量 在（0，T）上均匀分布，称X(t)=S（t+ ）,

为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。 解：

111

E[X(t)] E[S(t )] S(t ) S(t )

TTT001

T

T

TTT t

S(t )d

t

1''

S( )d T

T

1

S(x)dx S(x)dx constant T 0

T

T

T

11

R(t,t ) E[S(t )S(t )] S(t )S(t ) S(t )S(t )d

TT0

01 T

T t

1'''

S( )S( )d S( ')S( ')d ' R( ) t T0

T

t 是平稳过程

3.4 设X(t)随相周期过程, 图？给出了其一个样本函数，周期T,幅度a 都是常数，t0为（0，

T）上均匀分布。求均值。

解： 样本函数为：

8a

(t-t0 nT) T x(t)

8a(t-t0-T nT)

4 T

t0 nT t t0 nT t0 nT

T

8

TT t t0 nT 84

tt0-T/8 18a 0T

E[X(t)] x(t)dt0 2 (t-t0)dt0 (t-t0 )dt0

T 4T t0 T/4 t0-T/8 4a Ttt-T/8

2 (t-t0)2t-T/8 (t-t0 )2t-T/4

4T

4a T2 a2

-(T/8) () 2 8 8T

E[X(t)] 0otherwise

( 0t ) A或为随机变量或不是， 式中 0为常数，3.6 随机过程X(t) Acos

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~(0,2 )上均匀分布，求：（1）时间自相关函数及集自相关函数。（2）A具备什么

条件两种自相关函数才相等。 解：

(1) 集自相关

R(t1,t2) EA2cos( 0t1 )cos( 0t2 )1

E[A2]cos( 0 t1 t2 )

21

E[A2]cos( 0 )

2

（2）时间自相关

T

E[A2]E cos( 0 t1 t2 2 ) cos( 0 t1 t2 )

12

( ) limAcos( 0t )cos( 0t 0 )dt

T 2T T1

cos(2 0t 0 ) cos( 0 ) dt Alim

T 2T2 T

2

T

A2

cos( 0 )

2

E[A2] A2时， 即A为常数时，两者相等。

3.7随机过程X(t) Asint Bcost 式中，A，B均为零均值的随机变量，求证：X(t) 是均值各态历经， 而均方值无各态历经性。 解：

E[X(t)]= E[Asint Bcost] E[A]sint E[B]cost 0

1

[X(t)]

2

2

[Asint Bcost]dt 0

2

2

E[X2(t)] E[ Asint Bcost ] E[A2]sin2t E[B]cos2t 2E[A]E[B]costsint E[A]sint E[B]cost

2

2

2

2

1[X(t)]

2

2

2

2

[Asint Bcost]dt

1

(A2 B2) 4

故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。

3.8 设X(t) 与Y(t)为统计独立的平稳过程，求证他们的乘积构成的随机过程Z(t)=X(t)Y（t）

也是平稳的。 解： E[Z(t)] E[X(t)Y（t)] E[X(t)]E[Y（t)] mXmY

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RZ(t1,t2) E X(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2) E X(t1)X(t2) E Y(t2)Y(t2) RX(t1,t2)RY(t1,t2)

t 是平稳过程

3.9设X(t) 与Y(t)为单独和联合平稳，求： （1）Z（t）=X(t)+Y(t)的自相关函数 （2）X(t)与Y（t）统计独立时的结果

（3）X(t)与Y（t）统计独立时且均值为零时的结果。 解：

RZ(t1,t2) E [X(t1) Y(t1)][X(t2) Y(t2)] RX( ) RY( ) RXY( ) RXY( )

E X(t1)X(t2) Y(t1)X(t2) X(t1)Y(t2) Y(t2)Y(t2)

RZ( ) RX( ) RY( ) 2mXmY RZ( ) RX( ) RY( )

3.10 平稳过程X(t)的自相关系数为：RX( ) 4e（1） 求E[X2(t)]和

（2） 若将正弦分量视为信号，其他为噪声，求功率信噪比 解：

（1）

2

cos cos3

E[X2(t)] R（0） 4 1 5

12

mX limR（ ） 0

T T

2 2 mX2 5

RS( ) cos3 ; RS(0) 1

RN( ) 4e

S

1/4 N

cos ； RN(0) 4

3.12随机过程X(t)为：

X(t) Aco( st )，式中A, 0, 统计独立随机变量， 其

中 A的均值为2，方差位4， ~( , )上均匀分布。 ~[ 5,5]上均匀分布，X（他t）是否各态历经，并求出相关函数。

解：

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E[X(t)] E[A]E[cos( t )] E[A]E[cos tcos sin tsin ] 0

E[A]E[cos t]E[cos ] E[sin t]E[sin ]

i

[X(t)]

2

2 / i

acos(wt )dt 0

i

i

i

所以是均值各态历经。

3.13 设X(t) 与Y(t)为平稳过程，且相互独立，他们的自相关函数分别为：

RX 2e

2

cos

RY 9 e

32

设 Z（t）=VX(t)Y(t)

V是均值为2，方差为9的随机变量，求Z(t)的均值，方差，和相关函数。 解：

RX 0 2e

2cos 2 10

2X

RY 0 9 eRX 2e

3 2

2

0 m

RY 9 e

3 2

2

9 mY

RZ(t1,t2) E [VX(t1)Y(t1)][VX(t2)Y(t2)] E[V2]E X(t1)X(t2)}E{Y(t2)Y(t2) E[V2]RX( )RY( )

RZ 26e

2 3 2 cos 9 e

E[Z(t)] 0RZ 0 260

2Z RZ 0 RZ 260

3.14 设X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后的回波信号 aX(t ),a 1, 1是信号返回时间，回报信号必然伴有噪声，计为N(t), 于是接收到的全信号为：

Y(t) aX(t- 1) N(t)

（1） 若X（t）和Y（t）联合平稳，求互相关函数RXY

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（2） 在（1）条件下，N(t)均值为零，并与X(t)相互独立，求RXY 解：

RXY(t1,t2) E [(aX(t1- 1) N(t1)]Y(t2) aE X(t1- 1)Y(t2) E N(t1)X(t2) aR（） RXN(t1，t2)X - 1

（2）

RXY(t1,t2) E [(aX(t1- 1) N(t1)]X(t2) aE X(t1- 1)X(t2) E N(t1)X(t2) aR（） RXN(t1，t2)X - 1 aR（）X - 1

3.15

设X(t) 与Y(t)单独且联合平稳，且相互独立，

X(t) acos（ 0t ）Y(t) bsin( 0t )

式中 a,b为常量， ~( , )上均匀分布。

求 互相关函数RXY ， 并讨论在本题的具体情况下， 0的互相关函数的意义。 解：

RXY(t1,t2) E [acos（ 0t1 ）bsin（ 0(t1 ) ）

ab

E sin( 0(2t1 ) 2 ) sin( 0 ) 2ab

E sin( 0(2t1 ) 2 ) sin( 0 ) 2abab

E sin( 0(2t1 ) 2 ) sin( 0 )22ab

sin( 0 )2

RXY 0 0 表明了X(t)，Y（t）两过程同时刻正交。

3.16 设X(t) 与Y(t)为非平稳过程，且相互独立，

X(t) A(t)cos（ 0t）Y(t) B(t)sin( 0t)

式中 A（t）,B(t)为相互独立且均值为零的平稳过程，并有相

同的相关函数，求证：Z（t）=X(t)+Y(t)是宽平稳过程。 证明：

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E[Z(t)] E[A(t)cos(t) B(t)sin(t)] 0

RZ(t1,t2) E [X(t1) Y(t1)][X(t2) Y(t2)]

E[A(t1)A(t2)cost1cost2 2A(t)B(t)costsint B(t1)B(t2)sint1sint2] RA( )cos( )

3.17 如图所示的随机过程X(t)的样本函数，它在t0 nta时刻有宽度为b的矩形脉冲，脉冲幅度以等概率取 a，t0是在周期ta上均匀分布的 随机变量，而且t0 解：

x(t) c U(t t0 nts) U(t t0 nts b) ,n 0, 1, 2,......c a

0.5RA( ) cos(t1 t2) cos(t1 t2) 0.5RB( ) cos(t1 t2) cos(t1 t2)

RZ(t1,t2) Ec2 U(t1 t0 nts) U(t1 t0 nts b) U(t2 t0 nts) U(t2 t0 nts b) E[c2]E U(t1 t0 nts) U(t1 t0 nts b) U(t2 t0 nts) U(t2 t0 nts b) 1 E[c2]

ts E[c2]

ts

U(t

1

t0 nts) U(t1 t0 nts b) U(t2 t0 nts) U(t2 t0 nts b) dt

1

t1 t0 n1ts b t2 t0 n2ts ts

21E[c] b ts 0

b (i 1)ts b its

otherss

EX2(t) RX(0) E[c2]

1b

b a2 tsts

2

3.20 设X(t)为零均值的高斯平稳过程，若又有一个新的随机过程Y(t)满足Y(t) X(t),求证：RY( ) RX(0) 2RX( ) 证明：

2

2

RY(t1,t2) E[X2(t)X2(t )] E[X2(t)]

？？？？？？？？？？？？

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3.21 设 U（t）是电阻热噪声产生的电压随机过程，并有平稳高斯分布，若RC=10-3s

9

C 3x1.38x10F,T=300K, 并知热噪声电压的自相关函数为：

RU( )

kT a 1

c, CRC

23

式中k 1.38x10J/K, 为波尔兹曼常数，求热噪声电压的均值，方差，及在某一时刻

电压超过1uV的概率。 解：

kT ac 0;C

2 R(0) kT

X

C

kT

X2 R(0)-RU( ) 10 12

C

mX RU( )

2

f(v)

1v2

exp kT 2kT2 C C

10 6

Pv 10 6 1 Pv 10 6 1

2

v 1

exp dvkTkT 2 2

C C

v2 1

1 exp dv

2 2

1 0.8413 0.1587

1

3.14 设X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后的回波信号 aX(t ),a 1, 1是信号返回时间，回报信号必然伴有噪声，计为N(t), 于是接收到的全信号为： Y(t) aX(t- 1) N(t) （3） 若X（t）和Y（t）联合平稳，求互相关函数RXY

（4） 在（1）条件下，N(t)均值为零，并与X(t)相互独立，求RXY 解：

RXY(t1,t2) E [(aX(t1- 1) N(t1)]X(t2) a2E X(t1- 1)X(t2) E N(t1)X(t2) a2R（ RXN(t1，t2)X - 1）

（2）

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RXY(t1,t2) E [(aX(t1- 1) N(t1)]X(t2) a2E X(t1- 1)X(t2) E N(t1)X(t2) a2R（ RXN(t1，t2)X - 1） a2R（X - 1）

3.7随机过程X(t) Asint Bcost 式中，A，B均为零均值的随机变量，求证：X(t) 是均值各态历经， 而均方值无各态历经性。 解：

E[X(t)]= E[Asint Bcost] E[A]sint E[B]cost 0

2

[X(t)]

2

2

[Asint Bcost]dt 0

2

2

2

2

E[X(t)] E[ Asint Bcost ] E[A]sint E[B]cos2t 2E[A]E[B]costsint E[A]sint E[B]cost

2

2

2

1[X2(t)]

2

2

[Asint Bcost]2dt

1

(A2 B2) 4

故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。