随机信号分析基础第三章课后答案

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第三章，平稳随机过程的n维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx不是t的函数。同样均方值也应是常数。（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao的函数。则称他们是联合宽平稳的。

第三章

Chapter 3 ==========================================

3.2 随机过程 t 为 t Acos 0t 式中，A具有瑞利分布，其概率密度为

PA a

a

2

e

a22 2

2 上均匀分布， 与 是两个相互独立的随机变量，，a 0， 在 0，

0为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:

2

a22

2

t

acos 0t

00

a

2

e

1a dad a2e2 0

a22

2

2

da

1

cos 0t d 0 02 0

a22 2

R t1，t2 t1 t2 acos 0t1 acos 0t2

00

2

1a

e2

2

dad

a

0

2

a

2

2

e

2

a22

2

da cos 0t1 cos 0t2

2

2

1 2

a2

2

ae

0

a21d（ 2 2 2 0

a2de

a22 2

11 cos 0 t2 t1 cos 0 t1 t2 2 d

2

a2 a2 1 1 22 2 2 2 2

cos 0 t2 t1 ae eda cos 0 t2 t1 0220 11

cos 0 t2 t1 2 2 cos 0 t2 t1 2cos 0 t2 t1 22

2 2 1de

a22 2

可见 t 与t无关，R t1，t2 与t无关，只与 t2 t1 有关。

t 是平稳过程

另解：

t E[Acos( 0t )] E A E[cos( 0t )] E[A]x0 0;

R(t,t ) EA2cos( 0t )cos( 0(t ) ) EA2E cos( 0t )cos( 0(t ) )

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EA2 E cos((2 0t 0 ) 2 ) cos( 0 ) 2 2

EA cos( 0 )

2

t 是平稳过程

3.3 设S(t) 是一个周期为T的函数，随机变量 在（0，T）上均匀分布，称X(t)=S（t+ ）,

为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。 解：

111

E[X(t)] E[S(t )] S(t ) S(t )

TTT001

T

T

TTT t

S(t )d

t

1''

S( )d T

T

1

S(x)dx S(x)dx constant T 0

T

T

T

11

R(t,t ) E[S(t )S(t )] S(t )S(t ) S(t )S(t )d

TT0

01 T

T t

1'''

S( )S( )d S( ')S( ')d ' R( ) t T0

T

t 是平稳过程

3.4 设X(t)随相周期过程, 图？给出了其一个样本函数，周期T,幅度a 都是常数，t0为（0，

T）上均匀分布。求均值。

解： 样本函数为：

8a

(t-t0 nT) T x(t)

8a(t-t0-T nT)

4 T

t0 nT t t0 nT t0 nT

T

8

TT t t0 nT 84

tt0-T/8 18a 0T

E[X(t)] x(t)dt0 2 (t-t0)dt0 (t-t0 )dt0

T 4T t0 T/4 t0-T/8 4a Ttt-T/8

2 (t-t0)2t-T/8 (t-t0 )2t-T/4

4T

4a T2 a2

-(T/8) () 2 8 8T

E[X(t)] 0otherwise

( 0t ) A或为随机变量或不是， 式中 0为常数，3.6 随机过程X(t) Acos

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~(0,2 )上均匀分布，求：（1）时间自相关函数及集自相关函数。（2）A具备什么

条件两种自相关函数才相等。 解：

(1) 集自相关

R(t1,t2) EA2cos( 0t1 )cos( 0t2 )1

E[A2]cos( 0 t1 t2 )

21

E[A2]cos( 0 )

2

（2）时间自相关

T

E[A2]E cos( 0 t1 t2 2 ) cos( 0 t1 t2 )

12

( ) limAcos( 0t )cos( 0t 0 )dt

T 2T T1

cos(2 0t 0 ) cos( 0 ) dt Alim

T 2T2 T

2

T

A2

cos( 0 )

2

E[A2] A2时， 即A为常数时，两者相等。

3.7随机过程X(t) Asint Bcost 式中，A，B均为零均值的随机变量，求证：X(t) 是均值各态历经， 而均方值无各态历经性。 解：

E[X(t)]= E[Asint Bcost] E[A]sint E[B]cost 0

1

[X(t)]

2

2

[Asint Bcost]dt 0

2

2

E[X2(t)] E[ Asint Bcost ] E[A2]sin2t E[B]cos2t 2E[A]E[B]costsint E[A]sint E[B]cost

2

2

2

2

1[X(t)]

2

2

2

2

[Asint Bcost]dt

1

(A2 B2) 4

故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。

3.8 设X(t) 与Y(t)为统计独立的平稳过程，求证他们的乘积构成的随机过程Z(t)=X(t)Y（t）

也是平稳的。 解： E[Z(t)] E[X(t)Y（t)] E[X(t)]E[Y（t)] mXmY

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RZ(t1,t2) E X(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2) E X(t1)X(t2) E Y(t2)Y(t2) RX(t1,t2)RY(t1,t2)

t 是平稳过程

3.9设X(t) 与Y(t)为单独和联合平稳，求： （1）Z（t）=X(t)+Y(t)的自相关函数 （2）X(t)与Y（t）统计独立时的结果

（3）X(t)与Y（t）统计独立时且均值为零时的结果。 解：

RZ(t1,t2) E [X(t1) Y(t1)][X(t2) Y(t2)] RX( ) RY( ) RXY( ) RXY( )

E X(t1)X(t2) Y(t1)X(t2) X(t1)Y(t2) Y(t2)Y(t2)

RZ( ) RX( ) RY( ) 2mXmY RZ( ) RX( ) RY( )

3.10 平稳过程X(t)的自相关系数为：RX( ) 4e（1） 求E[X2(t)]和

（2） 若将正弦分量视为信号，其他为噪声，求功率信噪比 解：

（1）

2

cos cos3

E[X2(t)] R（0） 4 1 5

12

mX limR（ ） 0

T T

2 2 mX2 5

RS( ) cos3 ; RS(0) 1

RN( ) 4e

S

1/4 N

cos ； RN(0) 4

3.12随机过程X(t)为：

X(t) Aco( st )，式中A, 0, 统计独立随机变量， 其

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