备战2015高考_数学总复习知识梳理教案：函数的极值和最值

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函数的极值和最值

【考纲要求】

1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.

3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】

函数的极值

函数的极值和最值

函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值

函数在闭区间上的最大值和最小值

【考点梳理】

要点一、函数的极值 函数的极值的定义

一般地，设函数f(x)在点x x0及其附近有定义，

（1）若对于x0附近的所有点，都有f(x) f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作

y极大值 f(x0)；

（2）若对x0附近的所有点，都有f(x) f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，

记作y极小值 f(x0). 极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：

求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f (x)； ③求方程f (x) 0的根；

④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大

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值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理

若函数y f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如f(x)

要点诠释：

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤：

若函数y f(x)在闭区间[a,b]有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数f(x)在(a,b)内的导数f (x)； （2）求方程f (x) 0在(a,b)内的根；

（3）求在(a,b)内使f (x) 0的所有点的函数值和f(x)在闭区间端点处的函数值

1

(x 0). x

f(a)，f(b)；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数y f(x)在闭区间[a,b]上的最大值，最小者为函数y f(x)在闭区间[a,b]上的最小值. 【典型例题】

类型一：利用导数解决函数的极值等问题

例1.已知函数f(x) mx3 3x2 3x,m R.若函数f(x)在x 1处取得极值，试求

m的值，并求f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程；

【解析】f'(x) 3mx 6x 3,m R. 因为f(x)在x 1处取得极值 所以f'( 1) 3m 6 3 0 所以m 3。

2

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又f(1) 3,f'(1) 12

所以f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程y 3 12(x 1) 即12x y 9 0. 举一反三：

【变式1】设a为实数，函数f x ex 2x 2a,x R． (1)求f x 的单调区间与极值；

x2

(2)求证：当a ln2 1且x 0时，e x 2ax 1．

【解析】（1）由f(x) ex 2x 2a,x R知f (x) ex 2,x R．

令f (x) 0，得x ln2．于是当x变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：

故f(x)的单调递减区间是( ,ln2)，单调递增区间是(ln2, )，

ln2

极小值为f(ln2) e 2ln2 2a 2(1 ln2 a). f(x)在x ln2处取得极小值，

x

2

(2)证明：设g(x) e x 2ax 1，x R 于是g (x) e 2x 2a，x R

由(1)知当a ln2 1时，g (x)最小值为g (ln2) 2(1 ln2 a) 0. 于是对任意x R，都有g (x) 0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a ln2 1时，对任意x (0, )，都有g(x) g(0)． 而g(0) 0，从而对任意x (0, ),g(x) 0． 即e x 2ax 1 0，故e x 2ax 1．

【变式2】函数f(x)的定义域为区间（a，b），导函数f'(x)在（a，b）内的图如图所

x

2

x

2

x

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示，则函数f(x)在（a，b）内的极小值有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B是函数f(x)的极小值点，故选A。 类型二：利用导数解决函数的最值问题 例2.已知函数f(x) (x2 mx m)ex,其中m R。 （1）若函数f(x)存在零点，求实数m的取值范围；

（2）当m 0时，求函数f(x)的单调区间；并确定此时f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【解析】（1）因为函数f(x)存在零点，则x mx m 0有实根，

2

m2 4m 0，即m 0或m 4

（2）当m 0时，函数定义域为R

f (x) (2x m)ex (x2 mx m)ex

(x2 2x mx)ex x(x 2 m)ex

由f (x) 0，则x 0或x m 2 由f (x) 0，则x 0或x m 2 由f (x) 0，则m 2 x 0 列表如下： x

( ,m 2)

+ 增

m 2

0 极大值

(m 2,0)

- 减

0 极小值

(0, )

+ 增

f'(x) f(x)

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所以f(x)在( ,m 2)，(0, )上单调增，在(m 2,0)上单调减。 又知当x m 2且 时，f(x) 0；x 0且 时，f(x) 0； 而f(0) m 0，所以f(x)存在最小值f(0) m. 举一反三：

【变式】已知函数f(x) ax2 1(a 0),g(x) x3 bx.

(1)若曲线y f(x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;

(2)当a 4b时,求函数f(x) g(x)的单调区间,并求其在区间( , 1]上的最大值. 【解析】(1)由 1，c 为公共切点可得:f(x) ax2 1(a 0), 则f (x) 2ax,k1 2a,

g(x) x3 bx,则g (x)=3x2 b,k2 3 b,

2

2a 3 b①

又f(1) a 1,g(1) 1 b,

a 1 1 b,即a b,

a 3

代入①式可得: .

b 3

(2)

a2 4b,

1

4