江苏版高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用练

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专题7.4 基本不等式及其应用

一、填空题

1．下列不等式：

①lg ⎝

⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x

≥2(x ≠k π，k ∈Z )； ③x 2

＋1≥2|x |(x ∈R )；

④1x 2＋1＜1(x ∈R )． 其中一定成立的是________(填序号)．

【答案】③

2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．

【答案】(－∞，－2]

【解析】22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ≤14

，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2. 3．(2017·镇江期末)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋4a b 的最小值为________． 【答案】9

【解析】∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b

＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．

4．(2015·湖南卷改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b

＝ab ，则ab 的最小值为________． 【答案】2 2

【解析】依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22

ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b

，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab

，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2. 5．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x ，y 满足xy >0，则

x x ＋y ＋2y x ＋2y 的最大值为________． 【答案】4－2 2

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6．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．

【答案】2

【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.

7．(2017·苏州调研)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________． 【答案】－4 【解析】∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，

∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.

8．若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎣⎢⎡⎭

⎪⎫15，＋∞ 【解析】x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x

， 因为x ＞0，所以x ＋1x

≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 则13＋x ＋1x

≤13＋2＝15， 即x x 2

＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 二、解答题

9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20.

(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；

(2)求1x ＋1y 的最小值．

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10．(2017·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x >1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.

(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？

(2)若tan θ＝12

，当a 变化时，求x 的取值范围．

解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，

则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ，

由已知知观察者离墙x 米，且x >1，

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【能力提升】

11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为________． 【答案】1

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【解析】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)

则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x

－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1y －12＋1≤1. 12．(2017·衡水中学调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋2by (a >0，

b >0)的最大值为1，则1a 2＋1

4b 2的最小值为________． 【答案】

8

13．(2017·盐城中学月考)a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab |a |＋2|b |

的最大值为________． 【答案】24

【解析】依题意，a 2＝1－4b 2，故a 2＋4b 2＝1≥4ab ，故ab ≤14，2ab |a |＋2|b |≤2ab 22ab ≤24

，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22，b ＝24或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－22，b ＝－24时，等号成立．

14．(2017·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F (不与正方形的顶点重合)，连接AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划

为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？

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解设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.

则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值．设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tan α，