2015清华大学自主招生试题(含答案)
时间：2025-07-10
2015届清华大学自主招生数学试卷
2015清华大学自主招生
第 1 页 共 9 页 一、选择题
1.设复数z=cos 23π+isin 23
π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)32
2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件
(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要
3.设A 、B 是抛物线y=2
x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥
(C)直线AB 过抛物线y=2
x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x y f xy
++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数
5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（
）
(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点
6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3
π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为
△ABC
(D)△ABC
7.设函数2()(3)x
f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值
(C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<3
6e
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第 2 页 共 9 页 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）
(A)0<22a b +<22
r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=
(C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +
9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
10.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）
（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列
（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S
11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁
12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ） (A)13 (B)23
(C)2
(D)3
13.设不等式组||||22(1)
x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）
(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=
12，则k 的值有2个 (C)若D 为三角形，则0<k ≤23
(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ）
(A)0 (B)−15 (C)−212
(D)−292 15.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）
(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9
16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ）
(A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为54
17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）
(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种
18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ）
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(A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为
13 (C)z 的虚部的最大值为23 (D)z 的实部的最大值为1
3
20.设m,n 是大于零的实数，a =(mcos α,msin α)，b =(ncos β,nsin β)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12
a
=(2
α
2
α
),12
b
=(2
β
2
β
)，记θ=α−β，则
（ ）
(A)1
2
a ·12
a =a (B)112
2
a b
⋅=2
θ
(C)112
2
22||44
a b mn θ
-≥ (D)112
2
22||44
a b mn θ
+≥
21.设数列{n a }满足：1a =6，13
n n n a a n
++=
，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ）
（A ）ρ=
1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=1
12sin θ
+
23.设函数2sin ()1x
f x x x π=-+，则（ ）
（A ）()f x ≤4
3
(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心
24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333
a b c +>
25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)
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