2015清华大学自主招生试题(含答案)

时间:2025-07-10

2015届清华大学自主招生数学试卷

2015清华大学自主招生

第 1 页 共 9 页 一、选择题

1.设复数z=cos 23π+isin 23

π,则2111-1z z +-=( ) (A)0 (B)1 (C)12 (D)32

2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件

(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要

3.设A 、B 是抛物线y=2

x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥

(C)直线AB 过抛物线y=2

x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足:①()f x >0,x ∈(-1,0);②()f x +()f y =()1x y f xy

++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为

(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数

5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有(

(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点

6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c .若c=2,∠C=3

π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有( ) (A)b=2a (B)△ABC 的周长为

△ABC

(D)△ABC

7.设函数2()(3)x

f x x e =-,则( ) (A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值

(C)若方程()f x =b 恰有一个实根,则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0<b<3

6e

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第 2 页 共 9 页 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=},B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=,已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则( )

(A)0<22a b +<22

r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=

(C)12x x +=a ,12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +

9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 的最小值为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

10.设数列{n a }的前n 项和为n S ,若对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得n S =m a ,则( )

(A ){n a }可能为等差数列 (B ){n a }可能为等比数列

(C ){n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得n a =m S

11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测:4道或5道的选手得第一名;观众乙猜测:3道的选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6道选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6道的选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( )

(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁

12.长方体ABCD −1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 的距离为( ) (A)13 (B)23

(C)2

(D)3

13.设不等式组||||22(1)

x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ,其面积为S ,则( )

(A)若S=4,则k 的值唯一 (B)若S=

12,则k 的值有2个 (C)若D 为三角形,则0<k ≤23

(D)若D 为五边形,则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4,其外心为O ,则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=( )

(A)0 (B)−15 (C)−212

(D)−292 15.设随机事件A 与B 互相独立,且P(B)=0.5,P(A −B)=0.2,则( )

(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9

16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分,则这两部分的面积之比的( )

(A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为54

17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同的选法有( )

(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种

18.已知存在实数r ,使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点,则n 可以等于( )

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第 3 页 共 9 页

(A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|,则( ) (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为

13 (C)z 的虚部的最大值为23 (D)z 的实部的最大值为1

3

20.设m,n 是大于零的实数,a =(mcos α,msin α),b =(ncos β,nsin β),其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π).定义向量12

a

=(2

α

2

α

),12

b

=(2

β

2

β

),记θ=α−β,则

( )

(A)1

2

a ·12

a =a (B)112

2

a b

⋅=2

θ

(C)112

2

22||44

a b mn θ

-≥ (D)112

2

22||44

a b mn θ

+≥

21.设数列{n a }满足:1a =6,13

n n n a a n

++=

,则( ) (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有( )

(A )ρ=

1cos sin θθ+ (B )ρ=12sin θ+ (C )ρ=12cos θ- (D )ρ=1

12sin θ

+

23.设函数2sin ()1x

f x x x π=-+,则( )

(A )()f x ≤4

3

(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心

24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ,若△ABC 为锐角三角形,则( ) (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333

a b c +>

25.设函数()f x 的定义域是(−1,1),若(0)f =(0)f '=1,则存在实数δ∈(0,1),使得( ) (A)()f x >0,x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1,x ∈(0,δ) (D)()f x >1,x ∈(−δ,0)

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