华南理工大学网络教育线性代数与概率统计作业

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一．问答题

1．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。

答：定义：在n阶行列式D中划去aij所在的第i行和带j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n-1）阶行式，称为aij的余子式，记为Mij；即

a

Mij=

11

aaa

1j 1

aaa

1j 1

aaa

1n

i L,j 1i L,j 1

i L,j 1i L,j 1

i Lni Ln

aa

i L1i L1

(-1)i+j×Mij称为aij的代数余子式，记为Aij，即Aij=(-1)i+j×Mij 。

a

n1

a

nj 1

a

nj 1

a

nn

2．叙述矩阵的秩的定义。

答：定义：设A为m×n矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）=r或R（A）=r。

3．齐次线性方程组的基础解系是什么？

a11x1 a12x2 a1nxn 0 ax ax ax 0 2112222nn

答：定义：设T是 的所有解的集合，若T中存在一组非零解V1，V2， Vs，满足

an1x1 an2x2 annxn 0

（1）V1，V2， Vs，线性无关；

（2）任意V T,都可用V1，V2， Vs，线性表出； 则称V1，V2， Vs，是此方程组的一个基础解系。

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4．试写出条件概率的定义。

答：条件概率定义：在事件B发生的条件下事件A发生的概率定义为P AB =P AB P B 0 。 PB

5．试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。

n

答：定理1（全概率公式）设事件A1,A2, ,An构成完备事件组，且P B P Ai P BAi .

i 1特别地，当n=2时，全概率公式为

P B P A P BA PA P BA

. 定理2（贝叶斯公式）设事件

A1

,A2

, ,A

n

构成完备事件组，P Ai 0 i 1,2, n ，P A BAk

kB

P Ak P, n

n

k 1,2P Ai

P BAi

i 1

二．填空题

1

1

1

1．行列式D 111 4 ．

1 11

2．设A,B均为3阶矩阵，且|A| |B| 3，则 2ABT

则对任意事件B P B 0 ,有

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a11x1 a12x2 ax ax 211222

3．如果齐次线性方程组

an1x1 an2x2

a1nxn 0 a2nxn 0 annxn 0

的系数行列式|D| 0，那么它有 只有零 解．

4．用消元法解线性方程组AX b，其增广矩阵经初等行变换后,化为阶梯阵

1 53 02 3

00s

0001 4 ， t 0

则 (1)当 s=0，t≠0 时, AX b无解;

(2)当 s=0，t=0 时, AX b有无穷多解;

(3)当 s≠0，t 是任意实数时 , AX b 有唯一解。

N m

5．设有N件产品，其中有M件次品，若从N件产品中任意抽取n件，则抽到的n件中检有m(m M)件次品的概率为P＝n。 n

m

n m

C

n

6．随机变量数学期望的性质有

（1）E(aX b)＝aE X b（a，b为常数）；

（2）设有两个任意的随机变量X，Y，它们的期望E(X),E(Y)存在，则有E(X Y)＝E X E Y 。 （3）设X1,X2是 相互独立 的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有

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E(X1X2) E(X1)E(X2)。

7．设(X1,X2,

Xn)为总体X的一个容量为n的样本，则称统计量

（1）X＝X 1n

n 1

Xi为样本均值；

i（2）S2＝S

2

1n n

Xi X

2

为样本方差。 i 1

8．由概率的加法公式知，

（1）对任意两个事件A，B，有

P(A B)＝P A P B P AB ； （2）如果事件A，B互不相容，则

P(A B)＝P A P B ；

三．计算题

21111．计算行列式421 1

201102 9998．

121 2解

：

原

行

列

式

可

化

：

为

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21000 1 2210

300 1

2

21 2

3201201 201102 2 2 2600 1400 600 1800 201102 99982011020120

5120 5

12 5

1201 11 2．设A

2 1 14 2 1

，B ，求(I A)B。 0 20 1 01 1431 1 2 1000 0 1201 0 2解： I A

102 1 14 22 0010 0 20 1 0

00

1 02 1431 1 4 0 20 1 11 54

I A B 221 4 0211 2 1 01 25 5 3 1 4 30 1 2 90

2 51 512

0 1

1 4 11 30

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2 5321 3．求矩阵A

5

8543 1 7420 的秩。 4

112

3

2 5321 0 1解：A

5 854

3 1 742

1

1 7420

2 532 4 1123 0 0 4 1123 5 854

3 0

x1 2x2 x3 4x4 04．解齐次线性方程组 2x1 3x2 4x3 5x4

0 4xx。

x12 13x3 144 0 x1 x2 7x3 5x4 0

解：对系数矩阵施以初等变换：

1 21

4 1 214 A＝

23 4 5 1 23 → 0

1 4 1314 0 6 1218 1 2 →

0 1 00 1 1 75 0 3 69

00与原方程组同解的方程组为：

x1 5x3 2x4 0

x2

x 3 3x4 0 7420 0

5 21 1 74

2909 1 27 15 63 5 2 0000 所以，矩阵的秩为2 27 15 63 0 00

000

1

4 0 52 23 105 2 1

0 1 2312 3 0

0 → 0000 0 → 000

00 0 0000 0000

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所以：方程组的一般解为：

x1 5x3 2x4