数学物理方程与特殊函数试卷(2009B

数学物理方程与特殊函数试卷(2009B

《数学物理方程与特殊函数》试卷（2009B卷）

标准答案及评分标准

2u 2u 2u一、1．（12分）方程：2+2+2=0。基本解： 可以用分离变量法、格 x y

z林函数法。

2．（6分）齐次方程没有自由项，非齐次方程有自由项。非齐次方程的求解思路：用分解原理得出对应的齐次问题，解出齐次问题，求出任意非齐次特解，叠加成非齐次解。

3．（6分）xy′′+xy′+(x 2)y=0 y=AJ2(x)+BY2(x)

二、 （20分）u(x,t)=X(x)T(t)（2分） 222

XT′′=X′′T（1分）

X′′T′′== λ（1分） XT

X′′+λX=0，T′′+λT=0（2分） u(0,t) u(π,t)从边界条件=0,=0，可以得出X′(0)=0,X′(π)=0，（2分） x x

所以关于x的定解问题就是：

X′′+λX=0,0<x<1（1分） ′′X(0)0,X()0π==

当λ= β2<0时，X(x)=Aeβx+Be βx，根据边界条件得：

X′(0)=Aβ Bβ=0,X′(l)=Aβeβl Bβe βl=0，得A=B=0，

所以这时X(x)=0，平凡解，舍去不要（1分）

当λ=0时，X(x)=Ax+B，根据边界条件得A=0，这时X0(x)=B0（1分） 当λ=β2>0时，X(x)=Asinβx+Bcosβx，根据边界条件得

X′(0)=A=0,X′(π)= Bβsinβπ=0，βn=n,n=1,2,3,"，

λn=n2，Xn(x)=Bncosnx （1分）

′sinnt n=0,1,2,3,"（2分） Tn′′+n2Tn=0，Tn=Cn′cosnt+Dn

数学物理方程与特殊函数试卷(2009B

un=XnTn=(Cncosnt+Dnsinnt)cosnx u=∑un=∑(Cncosnt+Dnsinnt)cosnx（2分） n=0n=0∞∞

u(x,0)=∑Cncosnx=cosxC1=1

n=0∞

∞ u|t=0=∑nDncosnx=0Dn=0 （2分） tn=0

u=costcosx

三、（12分）特征方程为dy 3dxdy+2dx=(dy 2dx)(dy dx)，（2分）

作特征变换ξ=y 2x，η=y x，（2分） 22

2u这时方程为=0，通解为u=f1(ξ)+f2(η)=f1(y 2x)+f2(y x)，（2分） ξ η

利用初始条件u(x,0)=1=f1( 2x)+f2( x)，（1分） x

1 u(x,0)=0=f1′( 2x)+f2′( x)， f1( 2x) f2( x)=C（1分） y2

141f1( 2x)=2+2C，f1(x)= +2C，f2(x)= 2C，（2分） xxxu=f1(y 2x)+f2(y x)= 41（2分） +y 2xy x

四、（12分）令：u(x,t)=V(x,t)+W(x) （2分）

2 V2 V2=a e+aW′′ 2 t x

2aW′′ e=0 （2分） ex2

W=2+C1x+C2=0 （2分） 2a

W(0)=C2=0 W(1)= ee11 +C=C= 11222a2a

ex4eW=2+(1 2x （2分） 2a2a

数学物理方程与特殊函数试卷(2009B

2 V2 V=a2,0<x<1,t>0; t x V|x=0=0,V|x=1=0,t>0; （4分） V|= W(x),0≤x≤1; t=0

五、（12分）对y进行拉氏变换有d2[pU(x,p) 1]= dxp

d2U(x,p)= dxp

U(x,p)=2x1++C1 2pp

y由u(0,y)=e

得C1=得： 11 p+1p

2x1 +p2p+1

yU(x,p)=进行拉氏逆变换u(x,y)=2xy+e

′′(βx)+2βJ0′(βx)带入方程 ′(βx) y′′=xβJ0六（10分） 证明：y′=J0(βx)+xβJ0

′′(βx)+2βJ0′(βx) xβ2J011 2β+xJ0(βx)[J0(βx)+xβJ0′(βx)]+ 2 xx 2′′(βx)+βJ0′(βx)+(x2β2)x 1J0(βx)=xβ2J0

22′′(βx)+xβJ0′(βx)+(x2β2)J0(βx) =x 1 βxJ0 2′′(t)+tJ0′(t)+(t2)J0(t) =x 1 tJ0 =0

七、1.（5分）令 x3 2=C0P0(x)+C1P1(x)+C2P2(x)+C3P3(x)

CC=C0+C1x+2(3x2 1)+3(5x3 3x)22

数学物理方程与特殊函数试卷(2009B

C0= 2C1=3

5C2=0C3=2 532x3 2= 2P0(x)+Px+P3(x) ()155

2. （5分）P15( 1) P1()= 1 1

314= 33