10019复变函数 浙江省2013年7月自考 试题

浙江省2013年7月高等教育自学考试

复变函数试题

课程代码：10019

一、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）

判断下列各题，在答题纸相应位置正确的涂“A”，错误的涂“B”。

1．当复数z=0时，其模为零，辐角也为零.

2．满足不等式1 z 2表示的点集是z平面上的一个单连通区域.

3．若z0是实系数多项式P z zn an－1zn－1 ··· a0的根，则0也是P(z)的根.

4．对任意的复数z，都有ez ez.

5．设函数f1(z)与f2(z)在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z∈D，有f1(z)≡f2(z).

6．每一个在z0解析的函数一定可以在z0的邻域内展开成幂级数.

7．若z 是函数f(z)的可去奇点，则Resf z 0. z

二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)

8.函数eiz的周期为______.

19.设f z 2，则f(z)的定义域为______. z 1

10.sin2z cos2z =______.

11.已知曲线C为|z|=2的正向，则积分

cosz=______. cz－2

12.幂级数 nzn的收敛半径为______.

n 0

13.若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f′(z)的______阶零点.

14.设f(z)=z2在z=i的伸缩率为______.

15.设a为函数f(z)的n阶极点,则Resz af z fz=______.

三、完成下列各题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

z 2z2 1 i16.解方程组 1 3z iz 2-3i 12

17.计算积分

z rdzz-a2,0 a r.

ez

18.计算(cosz-3dz. z 1z

119.将函数f z 在圆环域0 z－ 1内展开成洛朗(Laurent)级数. (z－1)(z－2)

ez

20.求函数f z n 1在点z=0处的留数,其中n为正整数. z

21.证明方程ze2－z 1在z 1内只有一个根.

四、(本大题10分)

22.应用刘维尔定理证明任意复系数n次多项式必有n个复根.

五、(本大题10分)

23.计算积分： x2dx

x2 a22 ，其中a为正常数.

六、(本大题10分)

24.求将单位圆z 1映射成单位圆w 1的分式线性变换w f z ，且满足 1 1 πf 0,argf . 2 2 2

七、(本大题10分)

25.设u x,y x3－3xy2 2x2－2y2，判断函数u(x,y)在全平面为调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)，使f(0)=0.