抽象函数解题技巧

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识尤其是灵活运用的能力 ，

1、周期函数的定义：

若对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x T) f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k Z,k 0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。

分段函数的周期：设y f(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y f(x),

x a,b ,T b a。把y f(x)沿x轴平移KT K(b a)个单位即按向量

(kT,0)平移，即得y f(x)在其他周期的图像：y f(x kT),x kT a,kT b 。

f(x) x a,b f(x)

f(x kT) x kT a,kT b

2、奇偶函数：

设y f(x),x a,b 或x b, a a,b ①若f( x) f(x),则称y f(x)为奇函数； ②若f( x) f(x)则称y f(x)为偶函数。 3、函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点A(x,y)与B(2a x,2b y)关于点(a,b)对称； ②点A(a x,b y)与B(a x,b y)关于(a,b)对称；

③函数y f(x)与2b y f(2a x)关于点(a,b)成中心对称；

④函数F（x,y) 0与F(2a x,2b y) 0关于点(a,b)成中心对称。 （2）轴对称：对称轴方程为：Ax By C 0。 ①点A(x,y)与B(x/,y/) B(x

Ax By C 0成轴对称；

2A(Ax By C)2B(Ax By C)

,y )2222

A BA B

关于直线

②函数y f(x)与y

2B(Ax By C)2A(Ax By C) f(x 关于直线

A2 B2A2 B2

Ax By C 0成轴对称。

③F(x,y) 0与F(x

2A(Ax By C)2B(Ax By C)

,y 0关于直线 2222

A BA B

Ax By C 0成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论

（一）函数y f(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(x a) f(x b)，则f(x)具有周期性；若f(a x) f(b x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：f(a x) f(a x) y f(x)的图象关于直线x a对称 推论2、f(x) f(2a x) y f(x)的图象关于直线x a对称 推论3、f( x) f(2a x) y f(x

)的图象关于直线x a对称 推论1、f(a x) f(a x) 2b y f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x) f(2a x) 2b y f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f( x) f(2a x) 2b y f(x)的图象关于点(a,b)对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、函数y f(x)与y f( x)图象关于Y轴对称 2、函数y f(x)与y f( x)图象关于原点对称函数 3、函数y f(x)与y f(x)图象关于X轴对称 4、互为反函数y f(x

)与函数y f

1

(x)图象关于直线y x对称

推论1:函数y f(a x)与y f(a x)图象关于直线x 0对称 推论2:函数y f(x)与y f(2a x) 图象关于直线x a对称 推论3:函数y f( x)与y f(2a x)图象关于直线x a对称

2、复合函数的奇偶性 定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。

说明：

（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)

（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

3、复合函数的对称性

性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称

性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称 推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 4、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 5、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|

6、函数对称性的应用

（1）若y f(x)关于点（h,k)对称，则x x 2h,y y 2k,即

/

/

f(x) f(x/) f(x) f(2h x) 2k

f(x1) f(x2) f(xn) f(2h xn) f(2h xn 1) f(2h x1) 2nk

（2）例题 1、f(x)

11

f(x) f(1 x) 1; x

22a a

ax

4x 1

f(x) x 1 2x 1关于（0，1）对称：f(x) f( x) 2

2

f(x)

1111

( R,x 0)f（x) f() 1

22xx 1

2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：f(x) f( x) 0。

3、若f(x) f(2a x)或f(a x) f(a x),则y f(x)的图像关于直线x a对称。设

f(x) 0有n个不同的实数根，则

x1 x2 xn x1 …… 此处隐藏：12386字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……