2013年高中数学竞赛辅导试题： 函数零点与一元二次方程根的分布

第5节 函数零点与一元二次方程根的分布

函数的零点：对于函数

y f(x)，把使f(x) 0的实数x叫做函数y f(x)的零点。

y f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

零点存在性定理：如果函数

那么，函数y f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c (a,b)，使得f(c) 0，f(a) f(b) 0，这个c也就是方程

f(x) 0的根。

函数与方程思想：若

y=f(x)与x轴有交点x0 f(x0)=0

若y=f(x)与y=g(x)有交点(x0，y0) f(x)=g(x)有解x0。

一元二次方程根的分布

一、一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax【定理1】x1

2

bx c 0（a 0）的两个实根为x1，x2，且x1 x2。

2

b 4ac 0，

b

x1 x2 0

a

c

x1x2 0 a

0，x2 0(两个正根)

推论：x1 0，x2 0

b2 4ac 0 b2 4ac 0

或 a 0 a 0

f(0) c 0 f(0) c 0

b 0 b 0

2

b 4ac 0

【定理2】x1 0，x2 0 ，

b

x1 x2 0

a

c

x1x2 0 a

b2 4ac 0 b2 4ac 0

推论：x1 0，x2 0 a 0或

a 0 f(0) c 0 f(0) c 0 b 0 b 0

【定理3】x1 0 x2

c

0 a

bb

2x1 0，x2 0 c 0且 0。

0；○

aa

1x1【定理4】○ 0，x2 0 c 0且

二．一元二次方程的非零分布——k分布

设一元二次方程ax

2

bx c 0（a 0）的两实根为x1，x2，且x1 x2。k为常数。则一

元二次方程根的k分布（即x1，x2相对于k的位置）有以下若干定理。

【定理1】k

x1 x2

b2 4ac 0 af(k) 0 b k 2a

【定理2】x1

x2 k

b2 4ac 0

。

af(k) 0 b k 2a

【定理3】x1 k x2 af(k) 0。

0 x2 ac 0。

推论2x1 1 x2 a(a b c) 0。

【定理4】有且仅有k1 x1（或x2） k2 f(k1)f(k2) 0

推论1x1

a 0

a 0 f(k) 0

f(k) 01 1

【定理5】k1 x1 k2 p1 x2 p2 f(k) 0或 2 f(k2) 0

f(p) 0

f(p1) 01

f(p2) 0 f(p2) 0

2 b 4ac 0 b2 4ac 0

a 0 或 a 0 f(k1) 0 f(k1) 0 f(k) 0 f(k) 0

22

bb

k kk k2121 2a2a

【定理6】k1 x1 x2 k2

三、例题

【例1】 若一元二次方程kx2 3kx k 3 0的两根都是负数，求k的取值范围。

【例2】 k在何范围内取值，一元二次方程kx2 3kx k 3 0有一个正根和一个负

根？

【例3】 （1）已知方程x2 11x m 2 0的两实根都大于1，求m的取值范围。

（2）若一元二次方程mx

范围。

（3）若一元二次方程mx

22

(m 1)x 3 0的两个实根都大于-1，求m的取值

(m 1)x 3 0的两实根都小于2，求m的取值范围。

【例4】 （1）已知方程x2 2mx 2m2 3 0有一根大于2，另一根比2小，求m的取

值范围。 （2）已知方程x

2

(m 2)x 2m 1 0有一实根在0和1之间，求m

的取值范围。

例1、（k

12

或k>3）例2、（0<k<3） 5

1294

）2、（m

例3、1、（12 m 例4、1（ 1

1

2或m 5 26）3、（m 或m 5 26）

2

2212） 2（ m ） m 1

2223

函数零点与一元二次方程根的分布

一、选择题 1、已知

f(x)=(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且 ，

是方程

f(x)=0的两根( < )，则实数a，

b， 、 的大小关系是( ) A、 <a<b< B、a< < <b C、a< <b< D、 <a< <b

2

2、方程f(x)=ax bx c=0(a>0)的两个根都大于1的充要条件是 ( )

bbc

A.△≥0且f(1)>0 B.f(1)>0且－>2 C.△≥0且－>2，>1 D.△≥0且f(1)>0，

aaa

b

－>2。 a

3、函数

在

内 （ ）

（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点 4、 已知

是

上最小正周期为2的周期函数，且当

轴的交点的个数为（ ）

时,

,则函数

的图象在区间[0,6]上与

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9 5、设

，二次函数

的图象可能是（）

6、设函数

值范围是（ ）

，若

时，有

，则实数

的取

A. B. C. D.

7、设二次函数的值域为的最大值为（ ）

A． B． C． D．

8．函数

f(x) ex x 2

的零点所在的区间是（ ）

(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 9．若函数

A．若B．若C．若D．若

y f(x)在区间 a,b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（） f(a)f(b) 0，不存在实数c (a,b)使得f(c) 0；

f(a)f(b) 0，存在且只存在一个实数c (a,b)使得f(c) 0； f(a)f(b) 0，有可能存在实数c (a,b)使得f(c) 0； f(a)f(b) 0，有可能不存在实数c (a,b)使得f(c) 0；

10．如果二次函数

A．11．直线

y x2 mx (m 3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）

2,6 B． 2,6 C． 2,6 D． , 2 6,

的图象的交点个数为（）

y 3与函数y x2 6x

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．若方程x

3

x 1 0在区间(a,b)(a,b Z,且b a 1)上有一根，则a b的 …… 此处隐藏：1675字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……