16.习题课4.4向量空间

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总结:向量组的有关结论一、理解A=BC 二、 S的极大无关组 (1)定义 (2) S,则 可被极大无关组线表,且表法唯一 (3) S与极大无关组; 极大无关组~极大无关组 (4) S的各极大无关组含向量个数相等 --秩 三、重要结论 Th4.2 Th4.4 (I)无关 Th4.3 组(I)可被(II)线表示 r≤s 推2 组(I)与(II)等价 (I),(II)无关 r = s 推3 组(I)可被(II)线表 秩(I)≤秩(II) 组(I)与(II)等价 秩(I) = 秩(II) 四、秩、极大无关组、表示系数的求法1

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例题选讲2

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例1 判断下列命题是否正确？ (1) 若向量组线性相关, 则其中每一向量都 是其余向量的线性组合. 解 不正确. 如e1,e2,2e2线性相关, e1不能用

e2, 2e2线性表示. (ei是第i个单位向量) (2) 若一个向量组线性无关, 则其中每一向 量都不是其余向量的线性组合.解 正确. 用反证法:若存在一向量是其余

向量的线性组合, 则线性相关.3

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(3) 若 1, 2线性相关, 1, 2线性相关, 则 1+ 1, 2+ 2也线性相关. 解 不正确.如(1,0), (2,0)线性相关, (0,1),(0,3) 线性相关, 但(1,1), (2,3) 线性无关;

(4) 若 1, 2, 3线性相关, 则 1+ 2, 2+ 3, 3+ 1也线性相关. 解 正确. 不妨设 1可由 2, 3线性表示, 则

1+ 2, 2+ 3, 3+ 1可由 2, 3线性表示.4

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(5) 1, 2,…, m线性无关 1, 2,…, m中任何两个都线性无关. 解 不正确.只是必要条件,非充分. 1 , 0 , 1 反例 1 0 2 1 3 1

中任何两个都线性无关, 但 3 1 2 , 所以 1 , 2 , 3 线性相关.5

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例2 设向量组 , , 线性无关, , , 线性 相关, 以下命题正确的是( ). (A) 可以由 , , 线性表示; (B) 不可由 , , 线性表示. (C) 可以由 , , 线性表示; (D) 不可由 , , 线性表示.

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例3 设向量组 1, 2,…, m 与 1, 2,…, m, 的秩相等,证明两向量组等价. 证 (I): 1, 2,…, m , (II): 1, 2,…, m, R(I)= R(II)=r 显然(I)能由(II)线性表示,只须证 能由(I)线性表示即可. 不妨设 1, 2,…, r是(I)的极大无关组, 由(I)与(II)等秩知, 1, 2,…, r 也是(II) 的极大无关组,所以 能由 1, 2,…, r 线性表示,即 也能由(I)线性表示. 所以(I)与(II)等价.7

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例4 设向量组 1, 2,…, m 与 1, 2,…, s 的秩 相等,且 1, 2,…, m可由 1, 2,…, s线性 表示,证明两向量组等价.证: 设(I): 1, 2,…, m ,(II): 1, 2,…, s R(I)=R(II)=r (I´): 1, 2,…, r为(I)的极大无关组; (II´): 1, 2,…, r为(II)的极大无关组. 因为(I)能由(II)线性表示,所以(I´) 能由(II´)线性表示,8

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k11 k12 k1r k21 k22 k2 r 即 ( 1 2 r ) (

1 2 r ) k k k rr k11 k12 k1r r 1 r 2 k21 k22 k2 r K 可得 K 可逆. k k k r1 r 2 rr 1 所以 ( 1 2 r ) ( 1 2 r ) K 即(II´)能由(I´)线性表示, 故(I´)与(II´)等价 (I)与(II)等价.9

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《线性代数与解析几何》 第四章 n维向量第十六讲

4.4 向量空间王宝玲哈工大数学系代数与几何教研室

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本节主要内容

向量空间的概念; 2. 基、维数与坐标； 3. 坐标变换.1.

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4.4.1

n维向量空间的概念

1.定义 数域F上的n维向量构成的非空集 合V,且对向量的线性运算封闭,即

(1) , V, V (加法封闭)则称V为数域F上的向量空间. 如 {0},R n 都是向量空间.

(2) V, k F , k V

(数乘封闭)

例1 V1 (0, x2 , , xn ) x2 , , xn R 是向量空间V2 (1, x2 , , xn ) x2 , , xn R 不是向量空间.12

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2.子空间 V1、 V2是同一数域F上的向量空间, 若 V1 V2,则称V1是V2的子空间.如 {0}和R3 都是R3 的子空间.

例2 V1 (1,0, z ) z R 不是R3的子空间.T

0 V RT

n

其中V 是 R 的子空间.n

V3 (0, 0, z ) T z R 是R3 的子空间.

V2 (0, y, z )T y, z R 是R3 的子空间.

(1,0, a) (1,0, b) (2,0, a b) V1TT

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由向量空间的封闭性知,除{0}空间外都 含有无穷多个向量,所以有必要研究向 量空间的结构.4.4.2 向量空间的基、维数与坐标 1.定义 设V是向量空间, 称V的极大无关组 为V的基. V的基所含向量的个数为 V的维数. 若V的维数为r,则称V为r 维向量空间,记作 dimV=r. 规定:dim {0} =0.14

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