管理学专业的概率论与数理统计课程课件

次课:随机变量的数字特征 第10次课 随机变量的数字特征Ⅰ 次课 随机变量的数字特征Ⅰ数学期望的实际背景和数学意义 数学期望的性质与计算 数学期望的线性性质 离散型随机变量的数学期望 利用积分法计算连续型随机变量的数学 期望 习题三( , , , ) 习题三(3,4,5,7)

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数学期望 数学期望是任何一个随机变量的最重要 的也被最广泛使用的数学特征, 的也被最广泛使用的数学特征 英文是 expectation, 另一种叫法为均值 另一种叫法为均值(mean or average value) 它的实际意义就是平均值. 它的实际意义就是平均值 但属于一种 更为严格的平均值, 更为严格的平均值 和本书后面讲到的 统计平均值有一些小差别. 统计平均值有一些小差别

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首先从一个例子说起

假设一个班共20人 其中18岁的有 岁的有6人 假设一个班共 人, 其中 岁的有 人, 19岁的有 人, 20岁的有 人, 现任取 岁的有10人 岁的有 岁的有4人 岁的有 一人观察其岁数, 一人观察其岁数 则观察到的岁数ξ 为一随机变量, 为一随机变量 不难求出ξ的分布率 如下表所示. 如下表所示ξP 18 6/20 19 10/20 20 4/20

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现在要计算这个班的学生的平均年龄 有两种计算办法, 有两种计算办法 第一种办法是将这个 班的学生的每个人的年龄加起来, 班的学生的每个人的年龄加起来 再除 以这个班的人数20人 以这个班的人数 人, 即6个18岁, 10个 个 岁 个 19岁, 4个20岁加起来得平均年龄为 岁 个 岁加起来得平均年龄为

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第二种办法是统计的办法 就是通过对随机变量x进行一遍又一遍地重 就是通过对随机变量 进行一遍又一遍地重 复试验, 假设这试验一共做了n次 复试验 假设这试验一共做了 次, 而获得了 18,19,20这三个年龄的次数分别为 18, n19, 这三个年龄的次数分别为n 这三个年龄的次数分别为 n20次, 则将这 次试验所获得的年龄数统统 则将这n次试验所获得的年龄数统统 加起来除以n就是统计平均的年龄 加起来除以 就是统计平均的年龄 18×n +19×n +20×n20 18 19 ξ= = n n n n20 18 19 =18 +19 +20 n n n ≈18p +19p +20p20 18 19

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当然, 与准确计算的平均值E 当然 统计平均值ξ与准确计算的平均值 ξ 还可能有差距, 还可能有差距 但是当试验次数趋向于无穷 就趋近于数学期望E 时, 统计平均值ξ就趋近于数学期望 ξ了.

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定义 3.1 假设离

散型随机变量ξ有概率函数 P{ξ=xk}=pk (k=1,2,...), 若级数

∑x pk= 1 k ∞

∞

k

绝对收敛, 则称这级数为ξ的数学期望, 简 绝对收敛 的数学期望 称期望或均值, 记为E 称期望或均值 记为 ξ, 即

Eξ = ∑xk pkk= 1

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关于数学期望的一个力学上的解释, 关于数学期望的一个力学上的解释 在坐标 轴上的x 等点处放置质量为p 轴上的 1,x2,...,等点处放置质量为 1,p2,...的 等点处放置质量为 的 质点, 则数学期望处为整个质点体系的重心. 质点 则数学期望处为整个质点体系的重心 Eξ x1 p1 x2 p2 x3 p3

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服从0-1分布 分布, 例1 若ξ服从 分布 其概率函数为 P{ξ=k}=pk(1 p)1 k (k=0,1), 求Eξ 解 Eξ=0×(1 p)+1×p=p

1 p o p 1

p x

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甲乙两名射手在一次射击中得分(分别 例2 甲乙两名射手在一次射击中得分 分别 表示)的分布律如下表所示 试比较甲, 的分布律如下表所示, 用ξ,η表示 的分布律如下表所示 试比较甲 乙两射手的技术. 乙两射手的技术 ξ 1 2 3 η 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5 P 0.1 0.6 0.3 解 Eξ=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1 × × × Eη=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2 × × × 这表明, 如果进行多次射击, 他们得分的平 这表明 如果进行多次射击 均值分别是2.1和 均值分别是 和2.2, 故乙射手较甲射手的 技术好. 技术好

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一批产品中有一,二 三等品 等外品及废品5种 三等品,等外品及废品 例3 一批产品中有一 二,三等品 等外品及废品 种, 相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06, 及0.04, 若其 相应的概率分别为 产值分别为6元 元 元 元及 元及0元 产值分别为 元,5.4元,5元4元及 元. 求产品的平 均产值. 均产值 是一个随机变量, 其分布如下表: 解 产品产值ξ是一个随机变量 其分布如下表

ξ

P 因此, Eξ=6×0.7+5.4×0.1+5×0.1+4×0.06+0×0.04 =5.48(元)

6 5.4 0.7 0.1

5 4 0 0.1 0.06 0.04

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现在来讨论连续型随机变量 假设连续型的随机变量ξ的概率密度为 (x), 现在我们将整个实数轴划分成同样 的无穷多个小区间, 的宽度为δx的无穷多个小区间 试验的结 的无穷多个小区间 果落在第k个小区间的概率近似为 果落在第 个小区间的概率近似为

(xk)δx

...

δx

...

xk 2 xk 1 xk xk+1 xk+2

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的数学期望, 在这种情况下我们计算ξ的数学期望 可得

Eξ ≈ ∑xk (xk )δxk= ∞

+∞

当 x趋 于 时我 相 得 的 δ 向 0 , 们 信 到

ξ的 学 望 准 的 数 期 是 确 ,即 Eξ = ∫ x (x)dx ∞ +∞

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定义 3.2 设连续型随机变量ξ有概率密 度 (x), 若积分+∞

∞

x (x)dx 对 敛则 绝 收 , ∫+∞

Eξ = ∫ x (x)dx ∞

称 ξ的 学 望 为 数 期 .

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计算在区间[a,b]上服从均匀分布的 例4 计算在区间 上服从均匀分布的 的数学期望. 随机变量ξ的数学期望 依题意, 解: 依题意 1 a < x <b (x) = b a 0 其 它

x 1 1 2b 故 Eξ = ∫ dx = x| b a b a 2 a a b a (b+a)(b a) a +b = = = 2(b a) 2(b a) 22 2

b