电四极子电势和电场强度的计算

【专题研讨】

电四极子电势和电场强度的计算白春华 ,杨运均，刘瑾，江绍萍，朱荣欢。( 1 .云南大学资源环境与地球科学学院地球物理系，云南昆明 6 5 0 0 9 1; 2 .云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明 6 5 0 0 3 1;3 .云南省昆明市防震减灾局，云南昆明 6 5 0 5 0 0 )

摘要：电四极子可以看成由两个大小相等、方向相反的电偶极子组成的系统，所以在求解电四极子的问题时可借助电偶极子的结果进行求解。本文介绍了一种由电偶极子的电势和电场强度求解电四极子电势、电场强度的教学方法。关键词：电偶极子；电四极子；电势；电场强度中图分类号： T M1 5 1 文献标志码： A 文章编号： 1 6 7 4— 9 3 2 4 ( 2 0 1 3 ) 2 1— 0 1 3 5 - 0 2

我们在讲授电多极子专题时，对普通学生来说通常是比较抽象的课题之一。现行教材[ u对电偶极子的电位和电场强度做了简单描述，但有关电多极子的问题仅出现在个

( 2 ) ( 3 )在中垂线上 P点的电场强度为： E 2 3= L —

,

该电场强度的方向向上， P点处的合场强的大小

别习题中，学生经常会不知如何利用已学过的知识来处理此类问题，我们认为这主要是由于教学方法造成的。 求解电多极子的问题通常有以下两种方法。其一是用电动力学的逐级近似方法，通过求多极子的迭加，由小区域分布的电荷体系在远处产生的电场表达式中的第三

( r -专) 3…

高一高x+… . .

由x I>1,上式可以用T a y l o r公式 ( 1+ x ) = 1+ _ !二 2+展开并取二级近似，有：哪 =

项( u: _ 4 L f旦+ c 0 s 0+{( 3 c o s 0— 1 )+ . . .{ ),即电四 7 r￣ o【r r r 二 J极子展开或更高级展开计算。头两项被认为是单极子和偶极子，第三项为四极子，后面各项依次称为八极子、十六极子等。电四极子展开或更高级展开是对泰勒展开取高阶项得到的，纯粹是一种数学计算方法。由多极子展开得到的表达式形式上比较简单，但由于是纯数学推导，所以比较抽象。 其二是用数学物理方法来求解，这就涉及到一些复

[高一高]≈

【 (

1+ +卜1一 3 1+ )]㈩需要说明的是，当求出电场强度后，这里不能直接由电位的定义。即通过求 ( 1 )式中电场强度E ( P )对距离r的积

杂的数学物理方程(如勒让德多项式),会给我们的计算带来很大的麻烦。对于低年级的学生来说，要通过教学使其掌握这两种方法也属不易。本文将介绍由电偶极子的电场和电位来求解电四极子的电场和电位的一种方法。电四极子中垂线上的电场强度例：如图1所示的电四极子，设q和l都已知， P点到正方一

分( u=一j d r )来求P点的电位。原因是E ( P )不是沿卑仃 0 r。着方向的，而是垂直于r方向的合场强。 这个题目从整体看，它的电偶极矩之和为零。如果我

、

们想要利用空间任意一点的电偶极子电位表达式u( P ):_

形的中心O距离为 r, P O与正方形的P一一一一一一 -一一 一一一

L r

)先求出电四极子电位，再由E— u求出中垂

47 7"￣? 0

0一一一一一一

对边平行，求P 点的电场强度及一

线上P点的电场强度。此时，由于电偶极矩P和位置矢量r之间的夹角为9 O。,可得中垂线上任意一点电偶极子的电位为零，但电位的梯度不为零，所以不能使用电偶极子电位

电位分布。 如果两个偶图1 中垂面上电四极子的电场强度

极子偶极矩相等

而方向相反，两者相距很近，就构成电四极子。电四极子可看成是两个偶极子的迭加。这个题目可以考虑成两个电偶极子由于位置差异引起的误差从电偶极子出发进行计算。 利用偶极子在中垂线上的场强分布： E= _l __ t 47 rSo r

公式直接计算电场强度。 二、电四极子中垂线上的电位考虑P点不在中垂线上，如图2所示，在极坐标下P点的坐标为 r, 0),先考虑空间任意一点P点的电位：U( P)= U1+ U 2+ U 3+ U 4= ( U 1+ U 4 ) ( U 2+ U 3 )

由偶极子的产生的电电偶极子在空间任意点P处的电位为： u一

如图1所示，将本题中的电四极子看作分别由( 1 ) ( 4 ) 和( 2 ) ( 3 )两个偶极子的组合，则有偶极子( 1 ) ( 4 )在中垂线上P点的电场强度大小为：

( P ):土 .粤#q r￣

o点到P点的位矢。

r≥

1 ),这里的r指的是 l中

E ‘ I”兰，该电场强度的方向向下，偶极子 极子 ( 1 ) ( 4 )和( 2 ) ( 3 ) 2』的位矢分别为r , r 2,对-

设P点相对于偶图2空间任意一点电四极子的电位

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