专题一 70分填空题大

突破与解题技法

考查有关新定义的问题【例 1】 若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件： ①P,Q 都在函数 f(x)的图象上； ②P,Q 关于原点对称，则称点对(P,Q)是函数 f(x)的一个 “友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点 2x2+4x+1,x<0, 对”).已知函数 f(x)= 2 则 f(x)的“友 ex,x≥0, 好点对”有________个.

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解析

根据题意：“友好点对”,可知，只需作出函数 y=2x2

2 +4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数 y= x e (x≥0)交点个数即可. 如图， 观察图象可得：它们的交点个数是 2. 即 f(x)的“友好点对”有 2 个. 答案 2

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【例 2】 设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于任意的 x1∈D, f x1 +f x2 存在唯一的 x2∈D,使 =C(C 为常数)成立，则称 2 函数 f(x)在 D 上均值为 C,下列五个函数： ①y=4sin x;②y=x3;③y=lg x;④y=2x;⑤y=2x-1.则 满足其定义域上均值为 2 的所有函数的序号是________.

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解析

4sin x1+4sin x2 对于①,若 =2,则sin x1+sin x2=1,因为 2

x3+x3 3 1 2 x2不唯一，①不合题意；对于②,若 2 =2,则x2= 4-x3 是 1 lg x1+lg x2 104 唯一的，②符合题意；对于③,若 =2,则x2= x 是唯 2 1 2x1+2x2 一的，③符合题意；对于④,若 =2,2x1+2x2=4,则x2可 2 2x1-1+2x2-1 能不存在，④不合题意；对于⑤,若 =2,则x2= 2 3-x1是唯一的，⑤符合.故填②③⑤. 答案 ②③⑤上页 下页 返回

解题方法技巧：巧妙应用新定义型填空题 新定义型填空题，是指新定义一个数学问题 新概念、新公式、 新定理、新法则、新运算 并给出了以定义的新概念或新性质

或新运算所满足的条件，要求应用所学的数学知识和方法迁移到这段材料中，从而使问题得到解决的一类题.解新定义型填空 题，要仔细阅读分析所给材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围 绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、 推理发现解题方法.做此类题型的前提：认真阅读、审题，紧扣 新信息的意义，把定义问题“翻译”成熟悉的情境，化抽象为 直观，化难为易.上页 下页 返回

【突破训练1】 定义集合运算：A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A, y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元

素之和为________.解析 当x=0时，z=0,当x=1,y=2时，z=6,当x=1,

y=3时，z=12,故所有元素之和为18. 答案 18

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【突破训练2】 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运

算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a;当a<b时，a⊕b=b2.则 函

数 f(x) = (1⊕x)·x - (2⊕x)(x∈[ - 2,2]) 的 最 大 值 等 于 ________.(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法)解析 x-2 -2≤x≤1 , 由定义知，f(x)= 3 x -2 1<x≤2 ,

f(x)在区间[-

2,2]上单调递增，所以 f(x)的最大值为 6. 答案 6

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