第八节 多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值 及其求法一、多元函数的极值 二、多元函数最值 三、条件极值

第八节 多元函数的极值及其求法

观察二元函数 z =

xy ex +y2 2

的图形

第八节 多元函数的极值及其求法

一、多元函数极值(一元函数极值的推广) 多元函数极值(1.极值的定义 1.极值的定义 f( y 设函数 zy== f ( x ,x ) 在点 ( xx, y0 ) 的某邻域 U (δ ) 0

有定义， y 有定义， ( x , x) ∈ U (δ ),

0

若f若f, ( x << (fx(0 xy0,则称函数在( x0 , 0 0 )有极大值； ( x y) ) f , 0 )), x y 极大值；( x > > f ( x ), 若f 若,fy()x ) f ( x0 , y00), 则称函数在 ( x0 , y0 )有极小值； x0 极小值；

极大值、极小值统称为极值. 极大值、极小值统称为极值. 极值 使函数取得极值的点称为极值点. 使函数取得极值的点称为极值点. 极值点

第八节 多元函数的极值及其求法

z

函数 z = 3 x 2 + 4 y 2 例1 在 (0,0) 处有极小值.x o y

zoy

例2 函 数 z = x 2 + y 2在 (0,0) 处有极大值.

x

z 例3 函数 z = xy

y

在 (0,0) 处无极值.

o x

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2、多元函数取得极值的条件必要条件) 定理 1(必要条件) 具有偏导数， 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数， 处有极值， 且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数 必然为零： 必然为零： f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 .

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必要条件 z = f ( x , y )在( x0 , y0 )有极值

f x ( x0 , y0 ) = 0, y ( x0 , y0 ) = 0 f

证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y0 ) 处有极大值, 处有极大值, 则对于( x 0 , y 0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ≠ ( x 0 , y 0 )都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) ,

故当 y = y0 , x ≠ x0 时， f ( x , y 0 ) < f ( x 0 , y 0 ) , 有

处有极大值, 说明一元函数 f ( x , y0 )在 x = x 0 处有极大值,必有

f x ( x 0 , y0 ) = 0 ;

类似地可证

f y ( x0 , y0 ) = 0 .

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推广 如果三元函数 u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数， 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的 必要条件为

f x ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0

f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0

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仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时 为零的点，均称为函数的驻点. 为零的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点

例如, 的驻点， 例如, 点(0,0) 是函数 z = xy 的驻点， 但不是极值点. 但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

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定理2(充分条件) 定理 (充分条件) 设函数 z = f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 又f x ( x0 , y0 ) = 0,f y ( x0 , y0 ) = 0,( x , y )是驻点0 0

令f xx ( x0 , y0 ) = A,f xy ( x0 , y0 ) = B,f yy ( x0 , y0 ) = C,

则f ( x , y )在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： 处是否取得极值的条件如下： 当AC B 2 > 0

时具有极值 (1) ) 当A < 0时，有极大值, 当A > 0时，有极小值; 当AC B 2 < 0时没有极值； (2) )时可能有极值,也可能没有极值， (3) AC B = 0时可能有极值,也可能没有极值， ) 当 还需另作讨论. 还需另作讨论.2

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例4 求函数 的极值. 的极值 求驻点: 解 第一步 求驻点 解方程组 得驻点: (1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2) . 得驻点 判别: 第二步 判别 求二阶偏导数

fxx ( x, y) = 6x + 6,fxy ( x, y) = 0, f y y ( x, y) = 6 y + 6

A

B

C

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fxx ( x, y) = 6x + 6, fxy ( x, y) = 0, f yy ( x, y) = 6 y + 6在点(1,0)处 处 在点 > AC B2 = 12× 6 > 0, A> 0, 为极小值; 为极小值 在点(1,2)处 在点 处 2 AC B = 12× (6) < 0, 在点( 在点 3,0) 处 2 AC B = 12× 6 < 0, 在点( 在点 3,2) 处 AC B2 = 12×(6) > 0, A< 0, < 为极大值. 为极大值 (1,0) (1,2) (-3,0) (-3,2)

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极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0, f y ( x , y ) = 0 求出实数解，得驻点 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ) 求出二阶偏导数的值A、B、C. 求出二阶偏导数的值 、 、 第三步 定出 AC B 的符号， 的符号，2

再判定是否是极值. 再判定是否是极值

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二、多元函数的最值 与一元函数相类似， 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 极值来求函数的最大值和最小值 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在 将函数在 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 的边界上的最大值和最小值相互比较， 最大者即为最大值，最小者即为最小值 最大者即为最大值，最小者即为最小值.

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z = f ( x , y ) = x 2 y(4 x y ) 例5 求二元函数 在直线 x + y = 6,x轴和y轴 所围成的闭区域 D上的最大值与最小值 上的最大值 …… 此处隐藏：1522字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……