自动控制原理第三章 控制系统的时域分析法3.6 稳态误差分析及计算

3.6 稳态误差分析及计算一、误差及稳态误差定义

1.误差 典型控制系统如图，误差有两种定义方法。

3.6 稳态误差分析及计算(1)输入端定义，是系统的输入信号与主反馈 信号之差。

e(t ) r (t ) b(t ) E ( s ) R( s ) B( s )这个误差量在系统中具体存在，或说在控制系 统中是可以量测到的。

3.6 稳态误差分析及计算(2)输出端定义，系统输出量的期望值与实际 值之差。

(t ) y (t ) y (t )*

(s) Y (s) Y (s)*

这是在设计自动控制系统时，对系统提出性能 指标要求时常常使用的。这个误差在系统中不一 定存在，或说在控制系统中是无法测量到的；我 们专称它为“偏差”。

3.6 稳态误差分析及计算(3)两种误差的关系 如果H(s)=1且无量纲，则上述两种提法就统 一了。这时，误差就是偏差，误差量就是偏差量。 如果H(s) ≠ 1,则把系统转换成等效的单位反 馈系统，如下：

1 E ( s) 两者关系为： ( s) H ( s)

3.6 稳态误差分析及计算2.稳态误差 系统稳态时，输出的实际值与希望值 之差，即稳定系统误差的终值。

e ss lim e( t )t

稳态误差是指一个稳定的系统在设定的输入 或扰动作用下, 经历过渡过程进入稳态后的误差。

3.6 稳态误差分析及计算3.稳态误差的计算公式 如果sE(s)的极点均位于s左半平面，则应 用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系统的 稳态误差。

sR (s) lim e( t ) e( ) lim sE(s) lim t s 0 s 0 1 G (s)H(s)上式表明，系统的稳态误差与系统的开环 传递函数和输入信号有关。

3.6 稳态误差分析及计算二、给定输入作用下稳态误差计算

在不考虑扰动作用时，N ( s) 0 误差传递函数为：

E r (s) 1 1 er (s) R (s) 1 G 1 (s)G 2 (s)H(s) 1 G k (s)所以稳定系统的稳态误差为：

1 ess lim sEr ( s) lim s R( s ) s 0 s 0 1 G ( s ) k

3.6 稳态误差分析及计算例 单位负反馈系统的开环传递函数为：

20 G( s) H ( s) (0.5s 1)(0.04s 1)求输入 r (t ) 1(t )和r (t ) t 时，系统的 ess 。解：系统误差传递函数为：

R(s) (0.5s 1)(0.04s 1) E( s ) R (s) 1 G(s)H(s) (0.5s 1)(0.04s 1) 20

3.6 稳态误差分析及计算sE(s)的极点均位于s左半平面，可以应用拉氏变换 的终值定理。1 R( s ) s1 R( s ) 2 s

s(0.5 s 1)(0.04s 1) 1 1 e ss lim s 0 (0.5 s 1)(0.04s 1) 20 s 21

s(0.5 s 1)(0.04s 1) 1 e ss lim 2 s 0 ( 0.5 s 1)(0.04s 1) 20 s

3.6 稳态误差分析及计算例 求下图所示系统在输入信号 作用下的稳态误

差。

r ( t ) sin tC(s)

R(s ) E(s) 1 / Ts

B(s)

1

解：系统误差传递函数为：

1 s e (s) 1 1 / Ts s 1 / T

3.6 稳态误差分析及计算系统在输入信号 r ( t ) sin t 作用下的误差：

s E ( s ) e ( s ) R( s ) 2 s 1/ T s 2 2 3 T 1 T s T 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T 1 s 1 T 1 s T 1 s 2 TsE(s)的极点不全位于s左半平面，所以不可以应用 拉氏变换的终值定理。

3.6 稳态误差分析及计算通过拉氏逆变换，得系统误差为：

T T e( t ) 2 2 cos t 2 2 sin t T 1 T 12 2

如果使用终值定理，则会得出下列错误结论：

s lim e( t ) lim sE (s) lim s 2 0 2 t s 0 s 0 s 1 / T s

3.6 稳态误差分析及计算上述计算稳态误差的方法，是在系统稳定下 采用拉氏变换终值定理进行的，比较复杂，特别 在系统不稳定时，需用拉氏逆变换计算。 由此引出了另一种计算方法：系数法。

设系统的开环传递函数为：

Gk ( s)

K ( i s 1) ( k s 2 k k s 1)2 2

m1

m2

s

(T s 1) (Tj j 1 l 1

i 1 n1

k 1 n2

2 2

l

s 2 lTl s 1)

3.6 稳态误差分析及计算其中 K 为系统的开环放大倍数； τi 和 Tj 为时 间常数； v 为开环传递函数中积分单元的个数 ,

即开环传递函数在原点处极点的重数。v为无差度阶数， v =0,1和2的系统分别称为 0 型系统、Ⅰ型系统和Ⅱ型系统。Ⅲ型以上的系 统很少见。

针对不同的输入，分别讨论。

3.6 稳态误差分析及计算1、单位阶跃函数输入

1 r (t ) 1(t ) R( s) s

1 ess lim sE r (s) lim s R (s) s 0 s 0 1 G (s) k 1 1 1 lim s s 0 1 G (s) s 1 lim G K (s) ks 0

1 1 kp

Gk ( s ) 称为静态位置误差系数。 其中 k p lim s 0