Ch2 自回归移动平均模型

复旦-金融数据时序分析

Ch2 自回归移动平均模型

徐剑刚

复旦-金融数据时序分析

自回归移动平均模型时间序列分析方法是Box and Jenkins (1970)提出 的，该法不考虑以经济或金融理论为依据的解释 变量的作用，而是依据时间序列本身的变化规律， 利用外推机制来描述时间序列。 必须注意的是，建立时间序列模型的前提是：时 间序列是平稳的。

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随机过程由随机变量构成的一个有序序列称为随机过程，通常记为 x s, t , s S , t T S是样本空间，T为序数集。 对于每个t (t T),x( , t)是样本空间S中的一个随机变量； 对于每个s(s S),x(s, )是随机过程在序数集T中的一次实现。 一般将随机过程简称为过程，记为 xt 或xt 。 随机过程的一次观测结果称为时间序列， xt, t T 用表示。 时间序列数据是所要研究变量的观测值按时间先后顺序排列 的一组数据。如果我们把1997年1月1日至2004年12月31日间 每个交易日收盘时的中信指数按时间先后排列起来，得到了 中信指数时间序列。 通常，分析的数据是等时间间隔的，是一个离散的时间序列。 研究时间序列 xt 的目的，就是分析xt 与其过去值 xt-1, xt2,… 间的动态相关性。如果用线性模型分析，意味着xt 与其 过去值 xt-1, xt-2,… 存在着线性关系。 3

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滞后算子

滞后算子“L”是这样定义的 Lxt xt 1 Lxt就是时间序列 xt 在第t-1时刻的值xt-1 一个滞后算子的多项式为 ( L) L 0 1

L 0 i Li pp i 1

p

其中， 0=1,p是非负整数，为 (L)的阶数。将 (L)作用 p 于序列xt上，得 ( L) xt xt 1 xt 1 p xt 1 xt i xt ii 1

在时间序列分析中，该方程常用来分析xt与其过去值 xt-1, xt-2,… 间的动态相关性。

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滞后算子

假定c为常数，方程 ( L) xt c 称为p阶差分方程。如果c=0,那么，方程就是一个齐次 方程。如果变量xt 满足该差分方程，称为方程的一个解。 不同的 (L)将描述xt的不同的动态行为，常用 ( L) xt c 分析一个线性时间序列的动态结构。

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平稳性一个时间序列是随机变量按时间顺序排列的观测 值，在经济和金融的应用中，我们仅能得到的是 时间序列的一次实现，时间序列分析的目标就是 从观测到的一次实现来对过程进行推断，常用的 方法就是选择一个适当的模型来近似描述所研究 的过程。 选择一个适当的模型，就涉及到评价样本数据的 联合分布函数 F ( x1 , x2 , xT ) Pr(X 1 x1 , , X T xT ) 其中，T是样本容量，xi是实数。通常 xt 是一个 观测序列。为了能更好地为时间序列构

模，需要 限制联合分布。进一步，为了预测，还要说明过 程分布的一些关键性质，即时间不变性。 6

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强平稳在时间序列分析中，时间不变性是十分有用的，最常用 的就是平稳性。 如果一个平稳过程的性质不随时间起点的变化而变化， 也就是说，对于序数集T中的任何时间子集 t , t ,..,t 1 2 n 以及任何实数k, t i k T , i 1,2,...n

F xt1 ,...xtn F xt1 k ,...xtn k

称这个随机过程为强平稳过程。其中，F( )表示n个随机 变量的联合分布函数，这意味着该平稳过程所有存在的 矩都不随时间的变化而变化。 强平稳表明了 xt 和 xt k 的概率分布相同， xt , xt 的联合分布和 xt k , xt 的联合分布相同，…, k xt1 , xt2 , xtn 的联合分布和 xt , xt , xt 的联合分布相 1 2 n 同。11

1

2

1

2

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m阶平稳过程强平稳的要求苛刻，因而引入较弱的条件 如果一个平稳过程m阶以下矩(包括m阶矩)的取 值与时间无关，称随机过程为m阶平稳过程。

随机过程为m阶平稳过程并不要求 xt 和x 的概 率分布相同，仅要求这两个分布的主要特征相同， 只要求相等到m阶矩。1

t1 k

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二阶平稳(弱平稳、协方差平稳)

只注重时间序列的一阶矩、二阶矩。 T xt 1 假设一个时间序列 ，其T个均值为E(x1), E(x2),…, E(xT),T个 方差为Var(x1), Var(x2),…, Var(xT),和T(T-1)/2个协方差为Cov(xi, xj),i≠j。 E( x1 ) ... E( xT ) E( xt ) 如果 Cov( xi , x j ) ij Var( x1 ) ... Var( xT ) Var( xt ) 2

均与时间t无关，称xt为二阶平稳过程(弱平稳、协方差平稳)。 如果时间序列xt的一阶矩、二阶矩具有时间不变性，那么，xt是 弱平稳的。当然，这里要求xt的一阶矩、二阶矩都存在。 强平稳意味着过程的分布与时间无关，弱平稳意味着过程的二 阶矩与时间无关。强平稳过程也是弱平稳的。 实际应用时，通常假设时间序列的分布是联合正态分布，这种 假设出于统计上的方便性。因为，正态分布性质能为均值和二 阶矩描述。 对于服从正态分布的时间序列，弱平稳就是强平稳。 9

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白噪声在二阶平稳过程中，白噪声序列 at ,其定义如下， (1)均值为0,即对于所有的t, E(at ) 0 (2)方差是常数，即对于所有的t, E(at2 ) 2 E (3)协方差为0,即对于t s, (at as ) 0 也就是说，白噪声是 …… 此处隐藏：1971字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……