2012年全国各地中考数学解析汇编猜想求证型问题

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三十九章 猜想求证型问题 23．（2012山东省滨州中考，23，9分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．

【解析】连接AF并延长交BC于点G，证明△ADF≌△GCF，容易看出EF为△ABG的中位线，所以

，

EF=（AD+BC）。

解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下： 连接AF并延长交BC于点G．

∵AD∥BC∴∠DAF=∠G， 在△ADF和△GCF中，

，

∴△ADF≌△GCF， ∴AF=FG，AD=CG． 又∵AE=EB， ∴

，

即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．

【点评】本题考查梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理．正确的添加辅助线是解决此题的关键，梯形的问题常常转化为三角形的问题来解决．

26．（2012黑龙江省绥化市，26，8分）已知，点E是矩形ABCD的对角线BC上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为EC上的一动点，且PQ⊥BC于点Q，

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PR⊥BD于点R．

12； 5

⑵ 如图（乙），当点P为线段EC上任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由；

⑶ 如图（丙），当点P为线段EC延长线上任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

⑴ 如图（甲），当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=

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【答案】⑵结论PR+PQ=仍然成立，理由见解析；⑶图（丙）中的

5

12

结论是PR-PQ=．

5

【点评】本题主要考查了矩形的性质及直角三角形的重要定理：勾股定理，解决本题的关键是掌握好矩形的性质及以图形面积的和差为平台构造出的等式关系．难度中等．

23. （2012山东省青岛市，23，10）（10分）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？

如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形

.

探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？

在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q

，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在△PAC内部，如图②；

另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如图③；

显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形.

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探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④画出一种分割示意图

.

探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把△ABC分割成

个互不重叠的小三角形。

探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形。

问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点，可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形。

实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）

23. 【解析】观察图形发现：内部每多一个点，则多2个三角形，从而得到一般规律为n+2(m-1)或2m+n-2.根据根据规律逐一解答. 【答案】探究三：7

分割示意图.（答案不唯一）

.

探究四：3+2（m-1）或2m+1 探究拓展：4+2（m-1）或2m+2 问题解决：n+2(m-1)或2m+n-2

实际应用：把n=8,m=2012代入上述代数式，得2m+n-2=2×2012+8-2=4024+8-2=4030. 【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解题关键是结合图形，探寻其规律，发现规律才能顺利解题，体现特殊到一般的数学思想．

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16．（2012贵州遵义，16,4分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，

，，

，小亮猜想出第六个数字是

，根据此规律，第n个数是 ．

问题情境

如图，在x轴上有两点A（m,0）,B(n, 0)(n＞m＞0).分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x²于点C，点D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F,点E,点F的纵坐标分别记为yE.,yF. 特例探究 填空：

当m=1,n=2时，yE.=____,yF=______. 当m=3,n=5时，yE.=_____,yF=______. 归纳证明

对任意m, n（n>m>0）,猜想yE.与yF的大小关系，并证明你的猜想

拓展应用.