数学必修五第一章+解三角形1.1+正弦定理和余弦定理(共17张PPT)
时间:2025-03-15
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1.1.2余弦定理
复习回顾
a b c 正弦定理: sin A sin B sin C
2R
变型: a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
可以解决两类有关三角形的问题?(1)已知两角和任一边。
(2)已知两边和一边的对角。
研究:在三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b, 求a ∵ BC AC AB
BC
2
( AC AB ) 22 2
BC AC AB 2 AC AB
2
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cos A2 2 2 a b c 2bc cos A 即:
余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其 他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。
a2=b2+c2-2bccosAb2= a2+c2-2accosB
c2 =a2+ b2-2abcosC应用:已知两边和一个夹角,求第三边.
余弦定理推论:
b c a cosA= 2bc 2 2 2 a c b cosB= 2ac2 2 2
cosC=
a b c 2ab2 2
2
应用:已知三条边求角度.
由a2=b2+c2-2bccosA可得(1)若A为直角,则a² =b² +c²
(2)若A为锐角,则a² <b² +c²(3)若A为钝角,则a² >b² +c²
利用余弦定理,可以解决以 下两类有关三角形的问题:(1)已知两边和它们的夹角,求
第三边和其他两个角;
(2)已知三边,求三个角。
4.定理的应用例1.已知b=8,c=3,A=600求a.解:∵a2=b2+c2-2bccosA
=64+9-2×8×3cos600=49
a=7
练习
1. 在 ABC中,已知a =2 ,c 6 2, B 135 , 解此三角形0
b 2 2, A 30 , C 150
0
例2.在△ABC中,已知a=
,b=2, 6
c= 3 1 ,解三角形 解:由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 1) ( 6 ) 1 b c a cos A 2bc 2 2 2 ( 3 1)
A 60 ( 6 ) ( 3 1) 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 6 ( 3 1)2 2 2 2 2 2
B 45 C 180 A B 180 60 45 75
练习 1 在 ABC 中,已知 b= 4 3 ,c= 2 A= 120 ,求 a. 2 在 ABC 中,已知0
3,
a 2 21
a= 2
3 , b= 2
2
,
c= 6 2 ,求 A、B、C 的值。
A 60 , B 45 , C 750 0
0
例3、在△ABC中, a b c 那么A是(A)2 2
2
,
A. 钝角 C. 锐角
B. 直角 D. 不能确定
提炼:设a是最长的边,则 △ABC是钝角三角形 a △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形2
b c2
2
a b c2 2
2
a b c2 2
2
练习:4. 在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状 分析: △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。2 2 B (90 ,180 ) b a c2
变式:若已知三边的比是7:10:6,怎么求解
5.在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值
13 14
,
分析:求最大角的余弦值,最主要的是判断 哪个角是最大角。由大边对大角,已知两边 可求出第三边,找到最大角。2 2 2abcosC 解: c a b 72 82 2 7
8 13 92
则有:b是最大边,那么B 是最大角 2 2 2 2 2 2 cos B a c b 3 7 8 1 2ac 2 3 7 7
c 3
14
四.小结:(1)余弦定理:
(2)推论:
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C2 2 2
b2 c 2 a 2 cos A 2 2 2 2bc a b c cos C 2ab 2 2 2 c a b cos B 2ca
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