1.1.2余弦定理

复习回顾

a b c 正弦定理： sin A sin B sin C

2R

变型： a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C

a : b : c sin A : sin B : sin C

可以解决两类有关三角形的问题?(1)已知两角和任一边。

(2)已知两边和一边的对角。

研究：在三角形ABC中，AB=c,BC=a,CA=b, 求a ∵ BC AC AB

BC

2

( AC AB ) 22 2

BC AC AB 2 AC AB

2

| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cos A2 2 2 a b c 2bc cos A 即：

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其 他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。

a2=b2+c2-2bccosAb2= a2+c2-2accosB

c2 =a2+ b2-2abcosC应用：已知两边和一个夹角，求第三边.

余弦定理推论：

b c a cosA= 2bc 2 2 2 a c b cosB= 2ac2 2 2

cosC=

a b c 2ab2 2

2

应用：已知三条边求角度.

由a2=b2+c2-2bccosA可得(1)若A为直角，则a² =b² +c²

(2)若A为锐角，则a² <b² +c²(3)若A为钝角，则a² >b² +c²

利用余弦定理，可以解决以 下两类有关三角形的问题：(1)已知两边和它们的夹角，求

第三边和其他两个角；

(2)已知三边，求三个角。

4.定理的应用例1.已知b=8,c=3,A=600求a.解：∵a2=b2+c2-2bccosA

=64+9-2×8×3cos600=49

a=7

练习

1. 在 ABC中，已知a =2 ,c 6 2, B 135 , 解此三角形0

b 2 2, A 30 , C 150

0

例2.在△ABC中，已知a=

,b=2, 6

c= 3 1 ,解三角形 解：由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 1) ( 6 ) 1 b c a cos A 2bc 2 2 2 ( 3 1)

A 60 ( 6 ) ( 3 1) 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 6 ( 3 1)2 2 2 2 2 2

B 45 C 180 A B 180 60 45 75

练习 1 在 ABC 中，已知 b= 4 3 ,c= 2 A= 120 ,求 a. 2 在 ABC 中，已知0

3,

a 2 21

a= 2

3 , b= 2

2

,

c= 6 2 ,求 A、B、C 的值。

A 60 , B 45 , C 750 0

0

例3、在△ABC中， a b c 那么A是(A)2 2

2

,

A. 钝角 C. 锐角

B. 直角 D. 不能确定

提炼：设a是最长的边，则 △ABC是钝角三角形 a △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形2

b c2

2

a b c2 2

2

a b c2 2

2

练习：4. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状 分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。2 2 B (90 ,180 ) b a c2

变式：若已知三边的比是7:10:6,怎么求解

5.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值

13 14

,

分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断 哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边 可求出第三边,找到最大角。2 2 2abcosC 解： c a b 72 82 2 7

8 13 92

则有：b是最大边，那么B 是最大角 2 2 2 2 2 2 cos B a c b 3 7 8 1 2ac 2 3 7 7

c 3

14

四.小结:(1)余弦定理：

(2)推论:

a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C2 2 2

b2 c 2 a 2 cos A 2 2 2 2bc a b c cos C 2ab 2 2 2 c a b cos B 2ca