具有时滞及B-D功能反应的食物链系统周期解的存在性与全局渐近稳定性

研究了具有时滞和Beddington-DeAngelis功能反应的一类食物链系统,通过运用Mawhin重合度理论中的延拓定理,得到了系统至少存在一个周期解的充分条件,并通过构造Lyapunov泛函的方法得到了系统周期解的全局稳定性.

J.Sys.Sci.&Math.Scis.28(3)(2008,3),288–301

Beddington-DeAngelis

(

300160)

(

071001)

Beddington-DeAngelis

Mawhin

Lyapunov

MR(2000)

34K13,92D25

1

Michaelis-MentenHollingIILotka-Voterra

˙=x(r ax) mf(x)y, x

(1.1)

y˙= by+nf(x)y,

f(x)

x

(

x(t),y(t)

(1.1))Arditi

Ginzburg[1]

–

cxy x˙=x(r ax) , my+x

y˙= by+

dxy

my+x

(1.2)

2005-09-07,

2006-04-10.

研究了具有时滞和Beddington-DeAngelis功能反应的一类食物链系统,通过运用Mawhin重合度理论中的延拓定理,得到了系统至少存在一个周期解的充分条件,并通过构造Lyapunov泛函的方法得到了系统周期解的全局稳定性.

3

B-D

289

(1.2)

(

[2,3]

).

Beddington-DeAngelis–

cxy ,x˙=x(r ax) α+βx+γy

y˙= by+

dxy

α+βx+γyBeddington[4]

(1.3)

II

(1.1)(1.2)α=0

(1.3)

DeAngelis[5]γy

γ=0

Holling-(1.3)

[6]

,

Beddington-DeAngelis

–

[2,3,7 10]

,

Beddington-DeAngelis

x˙1(t)=x1(t)r1(t) a1(t)x1(t) b1(t)x1(t τ1(t)) c(t)x(t) 2 , α(t)+β(t)x(t)+γ(t)x(t)11112 x˙2(t)=x2(t) r2(t) a2(t)x2(t) b2(t)x2(t τ2(t)) d(t)x1(t σ1(t))

+

α1(t)+β1(t)x1(t σ1(t))+γ1(t)x2(t σ1(t)) e(t)x(t) 3 , α2(t)+β2(t)x2(t)+γ2(t)x3(t) x˙3(t)=x3(t) r3(t) a3(t)x3(t) b3(t)x3(t τ3(t)) f(t)x2(t σ2(t)) +

α2(t)+β2(t)x2(t σ2(t))+γ2(t)x3(t σ2(t))

(1.4)

ri(t),ai(t),bi(t)(i=1,2,3),c(t),d(t),e(t),f(t)

βi(t),γi(t),τi(t)(i=1,2,3),σi(t)(i=1,2)ωαi(t)ωf(t)

ω1

fL=inf{f(t):t∈R+},fM=sup{f(t):t∈R+},f=f(t)dt,

ω0

(1.4)

[ τ,0]

Φ∈C+,Banach

3

Φ(0)>0.C+=C([ τ,0];R+)

Φ =sup|Φ(s)|,Φ=

s∈[ τ,0]

研究了具有时滞和Beddington-DeAngelis功能反应的一类食物链系统,通过运用Mawhin重合度理论中的延拓定理,得到了系统至少存在一个周期解的充分条件,并通过构造Lyapunov泛函的方法得到了系统周期解的全局稳定性.

290

(Φ1,Φ2,Φ3)∈C+.

28

τ=

t∈[0,+∞]

max{τ1(t),τ2(t),τ3(t),σ1(t),σ2(t)}.

(1.4)

[0,+∞)

2

X,ZL:DomL X→ZN:X→ZdimkerL=codimImL<+∞(dimcodim),ImLZ

LFredholmLFredholmP:X→XQ:Z→Z

ImP=kerL,ImL=kerQ=Im(I Q),L|DomL∩kerP:(I P)X→ImLKp, XQN( )Kp(I Q)N: →XN L-ImQkerLJ:ImQ→kerL.

2.1[11]LFredholmN L-1)2)

x∈ ∩DomL,λ∈(0,1)x∈ ∩kerL,

Lx=λNx.

QNx=0.

3)deg{JQN, ∩kerL,0}=0.

Lx=Nx

DomL∩

r1

+2r1ω,M1=ln

a1+b1

M2=ln

M3=lnB1=

d(β) r21

a2+b2

f(β) r32

d

ω,+2β1 f

ω,+2β2

a3+b3

dL[r1 (γc1)]e 2r1ω

MM1

(αM1+β1e

2(

d

e

, r2 MeM2)(a+b)γ+γ1211

)ω

B2=

(αM2

fLB1eβ1

r3.MeM2+γMeM3)(a+b)+β2222

2.1

fd

(H1)(β) r2>0;(β) r3>0;(γc1) r1<0.12

(H2)B1>0,B2>0.(1.4)ω

(1.4)

t≥0

xi(t)≥0(i=1,2,3),

研究了具有时滞和Beddington-DeAngelis功能反应的一类食物链系统,通过运用Mawhin重合度理论中的延拓定理,得到了系统至少存在一个周期解的充分条件,并通过构造Lyapunov泛函的方法得到了系统周期解的全局稳定性.

3

B-D

291

xi(t)=exp{ui(t)}(i=1,2,3)

(1.4)

c(t)eu2(t) u1(t)u1(t τ1(t)) u˙(t)=r(t) a(t)e b(t)e , 1111u1(t)+γ(t)eu2(t) α(t)+β(t)e 111 u˙2(t)= r2(t) a2(t)eu2(t) b2(t)eu2(t τ2(t)) d(t)eu1(t σ1(t)) + α1(t)+β1(t)eu1(t σ1(t))+γ1(t)eu2(t σ1(t))

e(t)eu3(t) , u2(t)+γ(t)eu3(t) α(t)+β(t)e 222 u˙3(t)= r3(t) a3(t)eu3(t) b3(t)eu3(t τ3(t)) f(t)eu2(t σ2(t)) +,

α2(t)+β2(t)eu2(t σ2(t))+γ2(t)eu3(t σ2(t))

(2.1)

(2.1)

ω

u ,

(1.4)

ω

x =eu.

u =

3

(2.1)

X=Z={u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈C(R,R3):u(t+w)=u(t)},

i=1t∈[0,ω]

max|ui(t)|,u∈X.

X,Z

·

Banach

u2(t) Nu= r(t) a(t)e22 r3(t) a3(t)eu3(t)

u1(t τ1(t))

r1(t) a1(t)eu1(t)

u∈X

b1(t)e

u(t σ(t))11 d(t)e b2(t)eu2(t τ2(t))+

u(t σ(t))u(t σ(t))1121α1(t)+β1(t)e+γ1(t)e

+

u3(t) e(t)e

α(t)+β(t)eu2(t)+γ(t)eu3(t)

222

u2(t σ2(t)) f(t)e

b3(t)eu3(t τ3(t))+

α2(t)+β2(t)eu2(t σ2(t))+γ2(t)eu3(t σ2(t)) (t)1ω1ω

Lu=u˙=du,u∈X;Pu=u(t)dt,u∈X;Qz=dtω0ω0z(t)dt,z∈Z. ω

kerL=R3,ImL={z∈Z:0z(t)dt=0}ZdimkerL=3=codimImL,LFredholm

P,Q

c(t)eu2(t)

α1(t)+β1(t)eu1(t)+γ1(t)eu2(t)

ImP=kerL,ImL=kerQ=Im(I Q),

研究了具有时滞和Beddington-DeAngelis功能反应的一类食物链系统,通过运用Mawhin重合度理论中的延拓定理,得到了系统至少存在一个周期解的充分条件,并通过构造Lyapunov泛函的方法得到了系统周期解的全局稳定性.

292L

kerP∩DomL

28

Kp:ImL→kerP∩DomL t

1ωt

Kp(z)=z(s)ds z(s)dsdt

ω000

Kp(I Q)N

N

QNuKp(I Q)NuLebesgue

XArzela-AscoliL-Lu=λNu,λ∈(0,1),