概率论在高等数学计算中的应用研究

时间：2026-01-15

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概率思想在高等数学计算中的应用研究

卓泽强

魏文玲

科技教育

（北京石油化工学院数理系

李小龙北京

１０２６１

７）

摘要：通过对概丰思想在高等支学计算中的应用研完，表明不仅高等羹学的知识是概卒论学习的基肚，而且反过来，概牛思想也能够促

进高等数学计算的学习。关键词：概牟高等芰学

计算

文献标识码ｌＡ

文章编号：１￥７２－－３７９Ｉ（ＺＯＩｏ）ｏＴ（ｂ）－０１９６—０２

中圈分类号ｚＧ６４

高等数学中的计算问题，利用纯的高等数学计算方法是很难把问题处理，有时候即使能够计算出结果，步骤也很繁琐，但是如果应用慨率思想反而使复杂的问题变得相对简单。同时在教学中适时渗透和研究概率思想在高等数学中的应用方法，对增强学生学习兴趣、提高思维品质、指导学生有效学习都具有积极意义。下面本文对概率思想在高等数学计算中的几方面独到的应用进行了初步研究．

１概率分布是《概率论垆ｌ中比较基础的概念。利用某些概率分

布的特殊性质来求解一些高等数学中的化简问题

即把某些大于Ｏ／Ｊ．，于ｌ的数字构造成某事件发生的概率，然后根据慨率分布的特殊性质来解决问题。下文的例３采用的就是该方法。当然也可以利用泊松分布的一些性质、中心极限定理…和级数的收敛性来计算一些复杂的极限问题。下面的例ｌ、例２就是采用该方法。通过这些方法处理后，计算的难度明显降低了，准确度得到了大幅提高。这样做的目的是将概率思想应用到高等数学的计算过程中，揭示出高等数学与概率论的紧密关系，从而提高学生在《概率论与数理统计》课堂教学中的学习兴趣。

例１．设％－－Ｉ鲁＋等＋．．．＋竺ｋ１，求解ｌｉＩｎ％Ｌ“‘ｌ

Ｐｌ！Ｊ一

解：构造概率模型：设僖｝ｉ＝ｌ，２，３…．为相互独立同分布的随机变量序列，

都服从参数为名＝哟泊松分布．则Ｆ幺服从参数为名＝／／的泊松分布，即

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Ｅ￡＝Ｄ￡＝ｌ

由独立同分布的中心极限定理有

鲤攻喜￡ｓ刁＝熙。Ｆ厶韭竺丽则一

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例２：３１求极限ｌｉｍ二－．

解：设驯＝５的淞黼即

＾—＋－疗！

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薹盖一＝１．

即∑－’－７＝ｅ５由级数收敛的必要性可葛刀！

知：ｌｉｍ之＝０．

＾＿一疗！

１１１３．计算∑ｃ：－‘量“‘“＞Ｏ，ｂ，畎

■：设冀不均匀硬币＾恢。曩币每次出现正面

黼为Ｐ＝＿／（ａ＋６）．

用ｘ表示抛这种曩币Ⅳ次中正面出现的次数。脚

Ｐ｛Ｘ＝Ｉｌ－ｃ：ｅ‘‘ｌ一，）‘～，量＝０，１，…，＾．

根囊分希锌的性厦知

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万方数据

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２高等数学中一个比较重要的部分就是积分学问题。而定积分的计算更是高等数学中比较常见的问题

通过研究发现，概率思想同样可以在求解某些广义定积分上发挥重要的作用，同样可以达到减少计算难度，提高准确性的目的。即，可以利用式子本身的特性，通过变形，使被积函数成为某个随机变量的概率密度函数，从而利用概率密度函数的归一性，可以使得某一部分积分为ｌ，达到简化计算的目的。比如在例４１４Ｊ中，将被积函数化成正态分布的概率密度函数，然后再利用正态分布的性质，结合概率密度的规范性来使问题变得简单。

例４：计算广ｅ１；广斑

解：设连续型随机变量Ｚ～Ｎ（ｕ，盯２），—一＜“＜＋ｍ，ａ＞Ｏ

ｌ

（。！）２

其概率密度为

八砷＝—７１Ｉ－ｅ∥，ｘＥ

Ｒ√２，ｆｒＯ＂

利用概率密度的归一性ｒ一（ｘ）出＝ｌ，有

．（ｘ－－Ⅱ）２

‘ｊ．ⅣＦ

０４２＃Ｇ‘ｏ

广，三Ｐ１丁出＝ｌ’所以ｒＰｌ丁出＝√五矗３概率论中数学期望与方差是随机变量的数字特征．利用随机变