最新-瀚海导航2018高考数学总复习第十单元 第四节 直

第十单元 第四节

一、选择题

1．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )

A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 【解析】 依题意，圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|5

＝1， ∴4x 0－3＝±5，即x 0＝2或x 0＝－12

(舍)， ∴圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.

【答案】 B

2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0(a ，b ，c ≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边分别为|a |，|b |，|c |的三角形是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不存在

【解析】 圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离|c |a 2＋b

2＝1，即a 2＋b 2＝c 2，故以|a |，|b |，|c |为三边的三角形为直角三角形．

【答案】 B

3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3

【解析】 确定圆心坐标(0,2)和直线方程y ＝3x ，作出草图，数形结合，构造直角三角形，圆心在y 轴，直径为4，所求弦长过原点且与x 轴所成的角为60°⇒弦长＝4cos30°＝2 3.

【答案】 D

4．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( )

A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6

B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6

C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36

D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36

【解析】 依题意，设圆心(x,6)，由两圆内切，则

x －2＋－2＝6－1，∴x ＝±4，∴圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.

【答案】 D

5．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的

直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )

A ．m ∥l ，且l 与圆相交

B ．m ⊥l ，且l 与圆相切

C ．m ∥l ，且l 与圆相离

D ．m ⊥l ，且l 与圆相离 【解析】 直线m 的方程为y －b ＝－a b

(x －a )，

即ax ＋by －a 2－b 2＝0，

∵P 在圆内，∴a 2＋b 2<r 2，∴m ∥l . ∴d ＝r 2

a 2＋b

2>r ， ∴直线l 与圆相离．

【答案】 C

6．(精选考题·六安模拟)由直线y ＝x ＋1上的点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )

A ．1 B.7 C ．2 2 D ．3

【解析】 由平面几何知识易得，当直线上点与圆心距离最小时，切线长最小，而圆心

到直线距离为d ＝|3－0＋1|2

＝2 2. 故切线长的最小值为8－1＝7.

【答案】 B

7．已知集合A ＝{(x ，y )|y －3x ≤0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －a )2≤1}，若A ∩B ＝

B ，则a 的取值范围是( )

A ．[2，＋∞) B．(－∞，－2]

C ．[－2,2]

D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

【解析】 只有当圆心(0，a )到直线y ＝3x 的距离d ≥r ＝1且在y ＝3x 右下方时，

才能使A ∩B ＝B ，即|a |2

≥1，解得a ≥2或a ≤－2，又点(0，a )需在y ＝3x 右下方，所以a ≤－2.

【答案】 B

二、填空题

8．经过点M (1,3)的圆x 2＋y 2＝1的切线方程是________．

【解析】 点M 在圆外，当斜率存在时，设为k ，方程y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋

3＝0，由|k －3|k 2＋1

＝1，得k ＝43. 故切线方程为4x －3y ＋5＝0.当斜率不存在时，x ＝1.

【答案】 x ＝1或4x －3y ＋5＝0

9．过点M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心．当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．

【解析】 点M 在圆内，若∠ACB 最小，，则弦长AB 最小，

∴AB 应以M 为中点，k MC ＝1－012

－1＝－2，∴k AB ＝12. ∴l 的方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －2y ＋32

＝0. 【答案】 x －2y ＋32

＝0 10．(精选考题·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四

个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．

【解析】 因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为

1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋－5

2<1，解得－13<c <13. 【答案】 (－13,13)

三、解答题

11．若直线y ＝kx ＋1与x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M ，N 两点，并且M ，N 关于直线x

＋y ＝0对称，求m .

【解析】 根据题意，可知直线y ＝kx ＋1与直线x ＋y ＝0垂直，∴k ＝1.

∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2

，－m 2在直线x ＋y ＝0上，则－k 2－m 2＝0， ∴m ＝－1.

12．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ (O 是