二重积分的几种计算方法

二重积分是数学分析的重要组成部分,二重积分是定积分的推广,是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分(即累次积分)加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性,二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的,又是错选积分顺序导致积分无法计算,有的二重积分必须通过换元才能求出。

二重积分的几种计算方法

二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分（即累次积分）加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。计算二重积分的一般步骤如下：

1) 画出积分区域D的草图； 2) 求交点；

3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算； 4) 选择积分次序；

5) 化二重积分为二次积分； 6) 计算。

一．二重积分的直接计算方法

所谓连续函数f(x,y)展步在有限封闭可求积二位域 内的二重积分乃是指数

f(x,y)dxdy

max x 0max y 0

i

j

f(xi,yj) xi yj

其中 xi xi 1 xi, yj yj 1 yj，而其和为对所有i,j，使(xi,yj) 的那些值来求的。

若域 有下面的不等式所给出

a x b, y1(x) y y2(x)

其中y1(x)和y2(x)为闭区间 a,b 上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算

f(x,y)dxdy

b

a

dx

y2(x)

y1(x)

f(xi,yj)dy

例1. 计算 D

xydxdy

，其中区域D是由直线y x与抛物线y x2所围成的区域。

解: 积分区域D如图1所示，有定义D是简单区域，边界y x与y x2得交点为(0,0)和(1,1)。

若选择先对y积分，则过x轴上(0,1)内的任一点p作y轴的平行线，该线的与D下边界交点在y x2上，与D上边界交点在y x上，所求积分为

xydxdy

D

10

dx

xx

2

y

xydy x dx

2 x2

1

x

二重积分是数学分析的重要组成部分,二重积分是定积分的推广,是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分(即累次积分)加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性,二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的,又是错选积分顺序导致积分无法计算,有的二重积分必须通过换元才能求出。

12

1

(x x)dx

35

124

若选择先对x积分，同理可得

xydxdy

D

12

1

dy

3

yy

xydx

1

12 2xy y1

y

1

(y

y)dx

5

24

图1

若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，

然后根据 f(x,y)dxdy f(x,y) f(x,y),(D D1 D2)，来计算。

D

D1

D2

例2. 计算

xydxdy

D

，其中D是由xy a2，xy 2a2，x y及y 2x所围成

(x 0,y 0,a 0)。

解: 积分区域如图2所示，有定义可知D为复杂区域，D边界线的交点分别为A(a,2a),B(

aa,

a),C(a,a),D(2a,

2a)。

若先对x积分则连接BD，BD将D分成两个简单区域D1，。BD的方程为

y

2a，所求积分为

xydxdy

D

xydxdy

D1

xydxdy

D2

2a

a

dya2xydx

y

2a

2a2a

2a

2

dy yyxydy

22a2a

2a

a

(

y

3

2

a

4

2y

)dy

(

2ay

4

y

3

8

)dy

二重积分是数学分析的重要组成部分,二重积分是定积分的推广,是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分(即累次积分)加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性,二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的,又是错选积分顺序导致积分无法计算,有的二重积分必须通过换元才能求出。

4

y4a Iny

2y 8 a

4

4y 2aIny 32

2a

34

aIn2

4

图2 图3

若先对y积分，则连接AC,AC把区域D分成两个简单区域D1，D2。AC的方程为x a，如图3所示，所求积分应为

xydxdy

D

xydxdy

D1aa2

2a

xydxdy

D2

2a

a

4

dxa2xydy

x

a

(2

x

12

x)dx

3

14a4

x Inx

22

a

a2

4

4x 2aInx

8 a

2a

34

aIn2

4

在化二重积分为累次积分时还应注意：若先对x积分，则第一次积分是x是积分变量，积分上下限应含有y的表达式或常数；若先对y积分，则第一次积分时y时积分变量，积分上下限应该含有x的表达式或常数。 二．二重积分中的变量代换

若可微 …… 此处隐藏：1213字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……