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高考数学压轴题练习18

21. (本小题满分12分) 已知椭圆1:

2

22

2=+

b

y a

x C （0>>b a ）

的左、右焦点分别为21,F F ，A 为椭圆短轴的一个顶点，且21F AF ∆是直角三角形，椭圆上任一点P 到左焦点1F 的距离

的最大值为12+ （1）求椭圆C 的方程；

（2）与两坐标轴都不垂直的直线l ：)0(>+=m m kx y 交椭圆C 于F E ,两点，且以线段EF 为直径的圆恒过坐标原点，当OEF ∆面积的最大值时，求直线l 的方程.

21.（1）由题意得

2

2=

a c ，12+=+c a ————————2分

1,2==c a ，则1=b ——————3分

所以椭圆的方程为

12

2

2

=+y

x

————————————4分

（2）设),(),,(2211y x F y x E ，⎪⎩

⎪

⎨⎧+==+m kx y y x 122

2

，联立得0224)21(222=-+++m mkx x k

0)12(82

2

>-+=∆m k

，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+-=+-=+22

212

212122214k m x x k mk x x ，——————————————————5分 又以线段EF 为直径的圆恒过坐标原点，所以0=⋅OF OE

即02121=+y y x x ，代入得)1(3

22

2+=

k

m ————————————7分

||2

1EF d S ==2

2

2

22

2

2

2

2

)

21()

41)(22(3

2)

21()

21(813

1k k k k m k k

+++=

+-++-----9分

设1212

>+=k

t ，则2

2

49)211(322113

222

≤+--=

++

-

=

t t

t

S

大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.T http://www.77cn.com.cn 当2=t ，即22,2212±

==+=k k t 时，面积S 取得最大值22，——————————11分

又1=m ，所以直线方程为122+±=x y ——————————————-12分