数列与函数相结合

1.已知{an}是递增数列，且对任意n N+，都有an=n+ n恒成立，则实数 的取值范围是 。 2

2.已知函数f(x) cosx,x (

2,3 )，若方程f(x) a有三个不同的根，且从小到大依

次成等比数列，则a= 。

3.已知不等式1111+++……+>a对于一切大于1的自然数n都成立，求实n 1n 2n 32n

数a的取值范围。

4. 已知数列{an}中，an=

5. 设向量a =（x,2），b =（x n,2x 1）（n N），函数y a·b在[0，1]上的nn N* ，求数列{an}的最大项. n 15.6

最小值与最大值的和为an，又数列{bn

999nb1 (n 1)b2 2bn 1 bn ()n 1 ()n 2 1． 101010}满足：

（1）求证：an n 1； （2）求bn的表达式；

（3）cn an bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论.

6.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an 0，a1为常数，且 a1、Sn、an 1成等差数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn 1 Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．

7. 数列{an}满足：a1 1,a2 331,an 2 an 1 an(n N*). 222

（1）记dn an 1 an，求证：{dn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）令bn 3n 2，求数列{an bn}的前n项和Sn。

8. 已知关于x的二次方程anx2 an 1x 1 0(n N )的两根 , 满足

6 2 6 3，且a1 1

（1）试用an表示an 1 （2）求证：{an }是等比数列

（3）求数列的通项公式an （4）求数列{an}的前n项和Sn

9. 数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求sn;

（3）设bn＝1∈N)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数n(12－an)23

mm，使得对任意n∈N，均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 32

10. 已知数列{an}中，a1 5，an 2an 1 2n 1（n N 且n 2）． a （Ⅰ）若数列 n

n 为等差数列，求实数 的值； 2

（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．

n(1-n)11. 已知数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,且满足Tn=2.

(1)求a1; (2)求证：数列{an}为等比数列；

(3)是否存在常数a,使得(Sn+1-a)=(Sn+2-a)(Sn-a)对n∈N都成立？如存在，求出a的值；如不存在，请说明理由.

12. 已知数列a1,a2, ,a30，其中a1,a2, ,a10是首项为1，公差为1的等差数列；2*a10,a11, ,a20是公差为d的等差数列；a20,a21, ,a30是公差为d2的等差数列（d 0）.

（1）若a20 40，求d； （2）试写出a30关于d的关系式，并求a10 a20 a30的取值范围；（3）续写已知数列，使得a30,a31, ,a40是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？