2013-2014学年高一数学同步课件：指数函数及其性质的应用(新人教A版必修1)

第2课时 指数函数及其性质的应用

【课标要求】 1.理解指数函数的单调性与底数的关系. 2.能运用指数函数的单调性解决一些问 题. 【核心扫描】 1.指数函数单调性的应用.(重、难点) 2.分类讨论思想的运用.(易错点)

新知导学y轴 1.函数y=ax 与y=a -x(a>0,且a≠1)的图 象关于 对称. 相同 2.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)函数的性质 相同 (1)函数y=af(x)与函数y=f(x)有 的 定义域. 相反 (2)当a>1时，函数y=af(x) 与y=f(x)具有 的单调性；当0<a<1时，函数y=af(x) 与函 指数型 数y=f(x)的单调性 . 3.形如y=kax(k∈R,且k≠0,a>0且a≠1) N(1+p)x(x∈N) 的函数是一种

互动探究 探究点1 若a2>a3 ,则0<a<1,这种说法是 否正确？ 提示 不正确，a的范围是a<1且a≠0. 探究点2 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值 与1的大小关系如何判定？ 提示 当a>1时，若x>0,则y>1;若x<0, 则0<y<1.当0<a<1时，若x>0,则0<y<1; 若x<0,则y>1.

类型一

利用函数的性质比较大小

【例1】 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和 1.53.2;(2)0.6 (3)1.50.3和0.81.2. [思路探索] 化为同底的形式 → 构造指数函数 →-1.2

和0.6

-1.5

;

利用单调性比较大小

解 (1)函数y=1.5x在R上是增函数， ∵2.5<3.2,∴1.52.5<1.53.2. (2)函数y=0.6x在R上是减函数， ∵-1.2>-1.5,∴0.6-1.2<0.6-1.5. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1, 而0.81.2<0.80=1, ∴1.50.3>0.81.2.

[规律方法] 1.对于底数相同但指数不同的 两个幂的大小的比较，可以利用指数函数 的单调性来判断. 2.对于幂值，若底数不相同，则首先考虑 能否化为同底数，然后根据指数函数的性 质得出结果；不能化成同底数的，要考虑 引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借 助中间值比较.

【活学活用1】 比较下列各组数的大小： 5 4 2.3 (1) 4 和 5 2.3;(2)0.6-2 和

解

4 5 - 5 2.3 2.3 2.3 5 -2.3 (1) 5 = 4 ,∵2.3>-2.3,∴ 4 > 4 ,

5 2.3 4 2.3 即 4 > 5 .

(2)由指数函数的性质知 0.6 2>1, ∴0.6 2>-

-

<1,

.

类型二 指数型函数的单调性 【例2】 判断f(x)= 的单调性， 并求其值域. [思路探索] 先把指数看做一个函数，并求 该函数的单调区间及值域，再根据指数函 数的单调性判断f(x)的单调性，利用单调性 求值域.

解

令u=x2-2x,则原函数变为y=

.

∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上递减，在[1,+∞)上 递增，又∵y= ∴y= 在(-∞,+∞)上递减， 在(-∞,1]上递增，在[

1,+∞)上递减.

∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1, ∴y= ,u∈[-1,+∞),∴0< ≤ =3,

∴原函数的值域为(0,3].

[规律方法] 1.关于指数型函数y=af(x)(a>0, 且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1 还是0<a<1;二是f(x)的单调性，它由两个 函数y=au,u=f(x)复合而成. 2.求复合函数的单调区间，首先求出函数 的定义域，然后把函数分解成y=f(u),u= φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y =f[φ(x)]的单调性.

【活学活用 2】 求函数 y= 解 设 1 1 t,t(x)= y= 2 . x-1

的单调区间.

∵x∈(-∞,1)或 x∈(1,+∞), ∴t(x)在(-∞,1)及(1,+∞)上为减函数， 又 1 y= 2 t 为减函数，

∴y= 因此 y=

在(-∞,1)与(1,+∞)上为增函数， 的增区间是(-∞,1)与(1,+∞).

类型三

指数函数的综合应用

ex a 【例3】 设函数f(x)= a + x(e为无理数，且e≈2.718 28 )是R e 上的偶函数且a>0. (1)求a的值； (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性. [思路探索] (1)利用f(-x)=f(x)求a值；(2)用单调性的定义证 明.

解

(1)∵f(x)是R上的偶函数，则f(-1)=f(1),

e-1 a e a 1 a e ∴ a + -1=a+ ,即 - =a-ae. e ae e e 1 1 1 ∴ a-a =e a-a , e

1 ∴a-a=0,∴a2=1,又a>0,∴a=1. 1 当a=1时，f(x)=e + x显然为偶函数，因此a=1. ex

(2)f(x)=ex+e-x.设任意 x1,x2>0,且 x1<x2. f(x2)-f(x1)=ex2+e-x2-ex1-e-x1 e 1-e 2 1 1 x x x x =e 2-e 1+ x - x =e 2-e 1+ x x e2 e1 e 1e 2 1 x x 1- x x . =(e 2-e 1) e 1e 2 ∵x1,x2>0,x1<x2,∴ex2>ex1 且 ex1ex2>1, 1 x x 1- x x >0,即 ∴(e 2-e 1) e 1e 2 x x

f(x2)>f(x1),

∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

[规律方法] 1.(1)第(1)问由f(-1)=f(1)求a 的值，切记要检验f(x)的奇偶性.(2)判定函 数f(x)在(0,+∞)上的单调性，常因变形不 彻底，导致无法判定f(x2)-f(x1)的符号而解 答不完整. 2.本题根据增函数的定义，利用作差法证 明f(x)在(0,+∞)上是增函数，其步骤是作 差、变形、判断符号，关键是变形，而变 形通常采用配方法、通分、因式分解等方 法.