高中数学人教a版选修4-5 第三讲 柯西不等式与排序不等式 10含答案

学业分层测评（十）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则

a ＋

b ＋

c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3

D.9 【解析】 由柯西不等式得[(

a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c)2，∴(a ＋b ＋c)2≤3×1＝3，

当且仅当a ＝b ＝c ＝13

时等号成立． ∴a ＋b ＋c 的最大值为 3.故选B.

【答案】 B

2．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c

的最小值为( ) 【32750054】

A ．4

B ．3

C ．6

D.2 【解析】 ∵(a ＋b ＋c)⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(

a)2＋(b)2＋(c)2]· ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c 2≥

⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·

2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c

≥2. 【答案】 D 3．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝

a 21＋a 22＋…＋a 2n n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，则P 与Q 的大小关系为( )

A ．P ＞Q

B ．P ≥Q

C ．P ＜Q

D.不确定

【解析】 由柯西不等式知

≥a 1＋a 2＋…＋a n ，

∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n ，

即得

a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ，∴P ≥Q. 【答案】 B

4．若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( )

A ．1

B ．6

C ．11 D.611 【解析】 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12

＋1＋13≥2x ·12＋y ·1＋3z ·13＝(x ＋y ＋z)2＝1，

∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611，即F ≥611

，当且仅当2x ＝y ＝3z 时，取等号． 【答案】 D

5．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z

的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36 D ．48

【解析】 (x ＋y ＋z)⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝

⎛⎭⎪⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36， ∴1x ＋4y ＋9z

≥36. 【答案】 C

二、填空题

6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，则(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是__________．

【解析】 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，

∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2.

∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥

499， ∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.