高中数学新人教A版必修四课件：1.2.1-2任意角的三角函数

新课标 人教A版 必修四课件 任意角的三角函数

1.2

任意角的三角函数

1.2.1

任意角的三角函数第二课时

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问题提出

cos x

1.设α 是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点P(x,y),角α 的三角函数 是怎样定义的？ y sin y cos x tan ( x 0)x

2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何？

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

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tan( 2k ) tan

3.公式 sin( 2k ) sin , 2k ) cos , cos( tan( 2k ) tan k Z).其数学意义如何？ (

终边相同的角的同名三角函数值相等. 4.角是一个几何概念，同时角的大小也 具有数量特征.我们从数的观点定义了 三角函数，如果能从图形上找出三角函 数的几何意义，就能实现数与形的完美 统一.

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知识探究(一):正弦线和余弦线

思考1:如图，设角α 为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 cos sin y, x都是正数，你能分 别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦 y 值吗？

| MP | y sin

P(x,y)

| OM | x cos

O

M

x

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思考2:若角α 为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 sin y , x 都是负数，此时 cos 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示？ y | MP | y sin

| MP | y sin | OM | x cos

M

O

x

P(x,y)

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思考3:为了简化上述表示，我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点，另 一个为终点，使得线段具有方向性，带 有正负值符号.根据实际需要，应如何 规定线段的正方向和负方向？规定：线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向，反向时为负方向.

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思考4:规定了始点和终点，带有方向的线 段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α 为第一、三象限角时，sinα 、cosα 可分 别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα , OM=cosα ,那么当角α 为第二、四象限角 时，你能检验这个表示正确吗？yP(x,y)

y xM

M

O

O

P(x,y)

x

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思考5:设角α 的终边与单位圆的交点 为P,过点P作x轴的垂线，垂足为M,称 有向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时， 角α 的正弦线和余弦线的含义如何？y P M O x P O x y

P

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思考6:设α 为锐角，你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗？yP

O

M

x

MP+OM>OP=1

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知识探究(二):正切线

思考1:如图，设角α 为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 y tan 是正数，用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适？y P T

y tan AT x

O

M A x

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思考2:若角α 为第四象限角，其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan x 是负数，此时用哪

条有向线段表示角α 的正切值最合适？y

y tan AT x

M O

A x

PT

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思考3:若角α 为第二象限角，其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan x 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？Ty P A T

y tan AT x

A M O

x

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思考4:若角α 为第三象限角，其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan x 是正数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？y T

y tan AT x

A MOT

A x

P

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思考5:根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？y P O A x T P O A T x y

过点A(1,0)作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T,则 AT=tanα .

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思考6:当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正切线的含义如何？ yPPsin p p p < < tan 4 4 4

O

x

当角α的终边在x轴上时，角α的正切线 是一个点；当角α的终边在y轴上时，角 α的正切线不存在.