4-1 不定积分的概念与性质

4-1 不定积分的概念与性质

第四章 不定积分微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算

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第一节 不定积分的概念与性质一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质

第四章

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一、 原函数与不定积分的概念引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力

下沿直线运动 , 试求质点的运动速度根据牛顿第二定律, 加速度

A 因此问题转化为: 已知 v (t ) sin t , 求 v(t ) ? m 定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数 . A A A 如引例中, sin t 的原函数有 cos t , cos t 3, m m m机动 目录 上页 下页 返回 结束

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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 3. 若原函数存在, 它如何求 ? 定理1 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续

初等函数在定义区间上有原函数

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定理 2原函数都在函数族 证: 1) 即 ( C 为任意常数 ) 内 .

又知

[ ( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x) F ( x) C0 (C0 为某个常数 ) 即 ( x) F ( x) C0 属于函数族 F ( x) C .故机动 目录 上页 下页 返回 结束

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定义 2

在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数; — 被积表达式.(P183)

上的不定积分, 记作

— 积分号;— 积分变量; 若 则

( C 为任意常数 ) 例如,

e dx e C 2 1 x3 C x d x 3 sin xdx cos x Cx

x

C 称为积分常数 不可丢 ! 不定积分是函数族

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不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.

f ( x) dx 的图形y

o

x0机动

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例1 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.

解:

y所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有

(1, 2)

o因此所求曲线为 y x 2 1

x

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例2 质点在距地面 力, 求它的运动规律.

处以初速

垂直上抛 , 不计阻

解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,

质点抛出时刻为

此时质点位置为则

初速为x

设时刻 t 质点所在位置为

dx v(t ) dtd2 x d v g 2 dt dt

(运动速度) 再由此求 x(t ) (加速度) 先由此求 v(t )机动 目录

x x(t )x0 x(0)

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先求

由

知

x

v(t ) ( g ) d t g t C1

x x(t )x0 x(0)o

由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0再求由 知

2 g t v0t C2 x(t ) ( g t v0 )d t 1 2

由 x(0)

x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为2 x(t ) 1 g t v0t x0 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

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从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx

(2)

F ( x) dx F ( x) C k dx kx C1 x 1 1

或 d F ( x) F ( x) C

二、 基本积分表 (P186)(1) (2)( k 为常数)

x dx

C

( 1)

dx (3) ln x C x

x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x) ] x机动 目录 上页 下页 返回 结束

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dx (4) arctan x C 或 arc cot x C 2 1 x dx (5) arcsin x C 或 arc cos x C 1 x2

(6) (7 )(8)

cos xdx sin x C sin xdx cos x C dx 2 sec cos 2 x xdx tan x C

dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x机动 目录 上页 下页 返回 结束

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(10) (11) (12)

a C (13) a dx ln ax

sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C x x e d x e C e x e x sh x x

2

(14) (15)

sh xdx ch x C ch xdx sh x C

e x e x ch x 2

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例3 求 解: 原式 =例4 求

x1

4 3

1 x 3 dx 4 C 3x 3 C 3 1

4 1

cos x C 解: 原式= 2 sin x dx 1 2

三、不定积分的性质1.

( k 0 ) k f ( x ) d x k f ( x ) d x

2. [ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x) d x机动 目录 上页 下页 返回 结束

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推论: 若

则

ki f i ( x)dx f ( x)dx i 1例5 求 解: 原式 =x x [( 2 e ) 5 2 )dx x

n

(2e) 2x C 5 ln(2e) ln 2x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例6 求2 (sec x 1)dx 解: 原式 =

sec 2 xdx dx tan x x C

例7 求

x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 dx dx 2 x 1 x arctan x ln x C机动 目录 上页 下页 返回 结束