求非线性目标函数的最值110203

调整夹逼法求线性目标函数z = ax+by (a,b是不全为零的常数) ,在给定 线性约束条件下的最优整数解，使用调整夹逼法探求的思路如下： 第一步，在不限制x ,y为整数的条件下求得最优解M(x0,y0),若 x0,y0都是整数，则(x0,y0)就是最优整数解，否则，进一步探求, 第二步，设过整数最优解且平行于直线ax+by=0的直线方程为 ax+by=m, 不妨设a,b是两个整数(否则, a,b是两个有理数, 可乘以 适当的数进行化归),则m必是整数, 根据具体问题限制m ≥ax0+by0或m ≤ax0+by0 第三步, 用线性约束条件夹逼最优整数解的x(或y); 由ax+by=m得代入线性约束条件即得x的一元一次不等式组，结 合原问题具体要求取定符合m ≥ax0+by0的最小整数m (或适合m ≤ax0+by0的最大整数m),解得(夹逼)出x的范围, 由此再夹逼出x 的整数值(无整数值时须更换m值再探求) ,由 求出相应的y值，若 y是整数，已符合要求；若y不是整数，须更换m的值再探求。

非线性目标函数的最值问题 x y x y x 1 4 0 0 y ,求 x 的取值范围.

例 已 知 变 量 x, y满 足

说明： 在 线 性 规 划 中 ， 对 于 形 如 z=a y ( x ( b a d c ) )

ay b cx d

( ac≠ 0 ) 的 目 标 函 数 ，d c

可 先 变 形 z= c

的 形 式 ，将 问 题 化 归 为 求 点(

,

b a

)

与 可 行 域 内 的 点 ( x, y) 连 线 斜 率 的 a/c 倍 的 范 围 最 值 ；

y

B

A

C

x

[例 2]

x-y+2≥0, 已知 x+y-4≥0, 2x-y-5≤0,

求：

(1)z=x2+y2-10y+25 的最小值； 2y+1 (2)z= 的取值范围. x+1

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[自主解答]

作出可行域如图，并求

出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3,1)、C(7,9). (1)z=x2+(y-5)2 表示可行域 内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 9 上，故 z 的最小值|MN| =2.2

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1 y- -2 (2)z=2· 表示可行域内任一点(x, y)与定点 Q(- x- -1 1 7 3 1,-2)连线的斜率的两倍，且 kQA=4,kQB=8, 3 7 所以 z 的取值范围为[4,2].

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[悟一法] y-b (1)若目标函数为形如 z= ,可考虑(a,b)与(x,y)两 x-a 点连线的斜率. (2)若目标函数为形如 z=(x-a)2+(y-b)2,可考虑(x,y) 与(a,b)两点距离的平方. ( 3)对 于 形 如 z=| Ax+By+C| 的 目 标 函 数 ， 可 化 为 z=A B 2 2

Ax By C A B2 2

形式，A B2 2

求可行域内的点( x,y)到直 线 Ax+By+C =0 距离的 倍的最值。

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[研一题] 1≤x+y≤4, 已知变量 x, 满足约束条件 y -2≤x-y≤2,

[例 3]

若

目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，求 a 的取值范围.

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[自主解答]

由约束条件画出可行

域(如图所示)为矩

形ABCD(包括边界).

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点C的坐标为(3,1),z最大即直线y=-ax+z在y轴上

的截距最大，∴-a<kCD,即-a<-1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1,+∞).

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在例3的条件下，若目标函数z=ax+y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围.

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解：如例3中的图，若目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值 的点有无数个，则必有直线z=ax+y与直线x+y=4平行， 此时a=1.

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[悟一法] 已知目标函数的最值求参数，这是线性规划的逆向思 维问题.解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般 在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求 解.同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.

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[通一类] y≥x, 3.(2011· 湖南高考)设 m>1,在约束条件 y≤mx, x+y≤1

下，目

标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为________.

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1 m 解：画出可行域如图，可知 z=x+5y 在点 A( , ) 1+m 1+m 取最大值为 4,解得 m=3.

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