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分这N个数据为A个子区间,每个子区间的长度为n,把第a个子区间标注为Ia(a=1,2, ,A),第a个子区间的元素为Nk,a(k=1,2, ,n)。假设每个子区间的平均值为(ea),标准差为SIa,对于每个子区间Ia,我们把区间内的每个元素都减去平均值ea,即有:

Yk,a=Nk,a-ea

(1)

接着把所得到的Yk,a进行累加,就得到了每个子区间累积横距离Xk,a,那么定义每个子区间内的极差为:

RIa=MAX(Xk,a-MIN(Xk,a),1 k n;(2)我们把每一个区间所得到的极差RIa除以它们各自的样本标准差,就得到每个区间的重标极差(RIa/SIa),因为我们有A个长度为n的子区间,则当长度为n时,平均R/S数值为:

(R/S)n=[

a=1

验R/S的显著性:

E(R/S)n=() ()1/2

nn

n-1r=1

(

)1/2

r

(6)

在一个分形的时间序列里,可能存在着非周期循环,Peters运用了V统计量来检查系统的稳定性和周期性[5]:

V-statistic=(R/S)n/n(7)

如果时间序列过程是独立随机的,那么(R/S)将随着时间的平方根呈现规模变化,针对log(n)的V 统计量标绘图将会是水平的;如果时间序列过程是连续的,并且H>0.5,那么(R/S)将以快于时间的平方根的比率增长,针对log(n)的V 统计量标绘图将会是向上倾斜的,相反的,如果H<0.5,那么图形将是向下倾斜。最重要的是,当V由上升转为下降的突变点,就可以发现循环长度。因此通过对V 统计量坐标图的观察,通过检查在每一个区间的V的最大值,可以发现时间序列的一些特征,如发现非周期循环和随机水平等。

(二) Hurst指数研究

本文应用了R/S分析方法对上证A股指数、深成A股指数、上证B股指数和深证B股指数的日收盘指数进行了实证研究。在进行R/S分析前,先进行下面的数据处理,以消除或者减小线性依赖[5]。Pt代表日收盘指数。

Rt=log(Pt/Pt-1(8)

随后,针对独立变量Rt-1,回归依赖变量Rt,即进行AR(1)分析:

0+ 1Rt-1+ tRt= (9)

把AR(1)分析所得到的残差进行R/S分析,R/S分析过程是一个复杂的数学过程,本文利用GAUSS语言编写了计算的详细过程,使数据处理得到了简化。经过计算,各个指数收益率序列的R/S分析结果如表2。

S.E.

t Ratio38.396-2.507077.292-7.262955.507-6.093750.319-5.1525

Prob>|t|1.0079E-0180.0219873.6994E-0249.4370E-0071.3993E-0219.3072E-0068.0952E-0216.6827E-005

Adj-R20.987940.258800.997000.745580.994190.673520.992940.59594

(R

A

Ia

/SIa]/A(3)

通过增加n的数值,则A的数值减少,直到n=(M-1)/2,当然,n要能整除M-1。通过以上的步骤则可以得到多个(R/S)n的数值。最后,由Hurst指数H和(R/S)n的关系:

*R/S)n=a n

H

(4)(5)

对这个式子取对数:

log(R/S)n=log(a)+H*log(n)+ui

通过最小二乘法就可以求出Hurst指数H。H具有以下的重要特点: 当H=0.5时,过去和未来的增量之间不存在任何联系,这样增量的波动完全是一个随机过程,是呈现正态分布的; 0.5<H<1时,增量的变化具有持久性效应。如果过去是一直增长的,那么未来也将持续增长的态势。H越接近1,这种持久性的效应就更加明显,H越接近0.5,就出现随机增长的态势; 0<H<0.5时,增量间的变化是呈现负相关的,如果过去是增长的,那么未来下降的可能性更大。H的数值越接近零,这种负相

指数名称上证A股指数深圳成分A股指数上海B股指数深证B股指数

VariableNameLOG(N)CONSTANTLOG(N)CONSTANTLOG(N)CONSTANTLOG(N)CONSTANT

Coefficient0.57224-0.0783320.60237-0.118670.62858-0.144670.62952-0.13514

表2 沪深两市H指数估计

0.0149040.0312450.00779340.0163390.0113240.0237420.0125110.026229