学物理的必须的

数函析解与数函变复 章一第

1.1.1题习 1 *z1z(x=)z+z(1→+ ←)ω1≤≤1 +

z(1=ω22z1≤x≤1 =)1z=z2

1≤ω≤1

)1+z(1=ω

z2

z

.

数实是

证求 1=且

数复z 是设.1

e

)2(

bi+a

*

)4(

i)1(:解

)i+3(

1=z

3i 1)3(π≤α≤0,αnisei+=αisoci 1

∴

2

时

由

πi2)πk2+π(nisi+)πk 2(soc+==

示1表s数指和式示表角三的数e复列下e出写 2)1nisi式+oc(e=ee=各i+1 3662,1,30=k

e3+1

e2=

i+1

1=φ

6

3 5

∴

3

π3

2(+2(=i)πnisi π)sπokceb+a=233=3 i

1 7

eb+a =bi+a

π

3

i

因

π

k2+)3 (gtcra i

2π)πk+(i3i6

由 1 解

i+1

2

3

1b

)πk+gra(i

a2

224

4

1

2

b

)πk2+gra(i

a

22

学物理的必须的

bb11

)πk+agra2(nisi+)πk+agra2(soc

α π α α π nisisoc+ 2 2nis2=2

2i+αso2eαnis2=αnisc 14

2

b+

a

=

π111)i 3(∑nis =e=i ==)i+3(iα π

288)π8i3()i+3( i nisi )πsoc(2=e2=i2 5 2

nisφ4i+1 4

φ4nisφ4socφsoc

6

φsocφnis!ni=)φnisi+φsoc(=φnnisi+φnsoc

!)k n(!k

π3

φsocφnis!4i+φi socφnis!4i+φsoc!4=φ4nisi+φ4soc∴ 3

!2!22!3!1!4!0 7

π33i

φnis!4i4+φsocφnis!4i+

!0!41!3 3 和∑示表和用式公弗摩棣!据根

)φnis φsoc(φnisφsoc4i+)φnis+φsocφnis6 φsoc(=∑φnis+φsocφnis6 φsoc=φ4soc∴ 解

)φnis φsoc(φnisφsoc4=φ4nis

∑

k

k

k n

n0=k

n

e

2

φ1+n(soc φ)32soc+222)q1(a φ=kniss=φnis2

q 1

knisi+ ksoc=

4

4

e

2

φ

nis φ)1+n(nis

2243=φksocφ3

2nis2

2

2

4

2

2

4

4

2

2

4

证

求.4

22

式公拉欧将并 算计

式公和求项n前数级比等用利 证

φki

n1=k

n

1

得可 入代

n

φki

n1=k

n1=k

学物理的必须的

→ )e 1(e ←e 1=

1

- 乘同母子分

e

φki

∑

n

=) knisi+ ksoc(

∑

n

e e1 ee=φii1=kφnisi21=k=

e

ee2

φnis φ)1+n(nisφsoc φ)1+n(soc

112222i =φiφ)+n(i+φiφφi22nis2nφins2

2

2

φi

1

φniφi

2

φi

1

2

φi

1

2

2

πyπ ra<toc<

x2

y故,π2<zgra≤0据根解tocra 。证得即 等相部虚与部虚 等相部实与部实式两由xy 限象I第在z natcra x

为围范值主的切正反知已 5 。

zgra值主角辐示表用试 y

natcra 限象II第在z,π+ x =zgra=y

限象III第在z π+natcra

x

z z=z z=z z证试 z z=z z足满z,z,z

z zz z

b a 试,1=a,1<b设1=yba 1明证natcra 限象VI第在z π2+

x得 母分 乘1=a以 解

z=z=z

b ab ab a

1====b a

b aba 1baa aba 1a1=c

0≠C

z zz z=

z z

.6

.

数复

设.7

①

若 证得论结

321

则 0=C若.C于等式分令 解

得

模取式原。可即明证

要只

3

32

13

12

3

12

11

2

3

3

21

2

3212

31

学物理的必须的

②

。证得此由 1=c即,1=c

2

1321

3

z zz z=z z

2z=y+x≤x=zeR

得模

取后分通1减别分边两式原

3

zz+

z z≥z z,z+z≥z+z

zz+zz+zz=)z+z()z+z(=z+z

利

试.8z+zz2+z≤明证

z+)zz(eR2+用z=

为

子z式的不则 方平证z边两z式等z将 =)z+(边=右式等z+2不+个一第22

见易

除相式②与式①将

1

2121

2

1

2

实用利试.9两法别判西科的在存限极列序数复明证 法别判西科的在存限极列序数2

。2在存限极的任对 时)ε2自在存 0任z则,ε>z z有 p数整正意(N数然>ε给121221121121

时N>n当使 2 义定限极据根,z=zmil设。性要必 证0>)ε(N在存 0>ε给任222

ε<z z+z

2

ε

式二第得理同 式一第得方开边

ε

由。立成ε<z

212

有也p数然自对21 有<1z z <z z 1

22

22

z≤z z+2z z=z z得

可 式两上及)31(式等不用利

212211

z 时N>n当使 0>)ε(N在存 0>ε给任设。性分充

ε<z z= y y x x ≤y y

使 y和x数实在存必 知可法别判西科的列序数实中学分积微据根y=ymil x=xmil

n

p+n

ε<z

z= y y x x ≤x

x

z=y+x= yi+x

mil=zmil在存限极的z 时∞→n当而因

0n

i+1 。0为限极的 列序明证言语的N-ε用试.01n2 0∞→n

1i+1

边两式等不在 ε< 求要就 ε<0- 使要 0>ε给任证

22

0l0p+nnεnεnl

时)ε(N>n当 -=N取今->n 得可后理整数对取.

2nl2nl

i+1 mil有即n 义p+定n的限极按。求要述上足满可即20p+n

p+n

00n=

p+n

2n2n

2n2n

n

p+np+np+n

n

p+n

n

p+np+np+n

n

p+n

00

n

∞→n

n

n

∞→n

000nn

∞→n

n

∞→n

n

nn

n

∞→n

学物理的必须的

n1n

∞→n)7(→n, )列序数实是不(限极下上有没也 限极无 1± 3± ∞±0点聚个七有

22

1 =mi l1=m il限极n无 1± 1± 点聚个四有)8(

nnnn

0=znmil得即 0为限极的∞n→n在z明证过通)1n(解

限极无 1 =zmil 1=zmi l2

22

nn;0=zmil证n可理同n,)1(照1 n仿n))3((

;0=zmil证可理同,)1(照仿)4(

限极有没 i±,1± 点聚个四有)5(

为径半 心中为点原以给任 是义意何几的点远穷无于趋}z{列序6

nn

∞均→nz数复的列序,时N>n当,N个一到找以可总,M话句换,外之圆大该在

∞=zmil故 角辐其定规不,样一点0=z像就点远穷无 说

。限极和点聚的列序列下求.11

in1i4+3 =z 1 1 z)4(z 3 1 z 2 == =

1+n21+n26n

πnπn1i+1 so c+1 z 8 ni s1 (+n=z)6(==z)7(i)1+n2( i=z)5(

6n2

6n

1 n

π<)1 z(gra<0∞→n2

2.1.1题习4

1≤1 nz∞→n01=3 z+3+z

1+z

y x=)yxi2+y x(eR=zeR

n

1

>)z(eR

2

n

∞→n

1>n

y x

2

;

。置位的集点述下出画上面平复在试

)2( ;

1 = y x

2 .1

)1(

.

∞→n

∞→n

)4

( ;)3

(

1 解

22222

2

。置位方右左线曲为

线曲

双得图作

2222

学物理的必须的

ygtcra=yi+)1 x(gra=)1 z(gra

1 x

][

X

1<y<0

1 x

4

πy<gtcra<0 2

1 x

于当相

01x=

3 y5+2)=3 xy +x)(3+5x(y(++)3y+)3 x

(02 001=x21x9+x051 526=y52+)9+x6 x(52

1=)y(+) x()02(=y52+x61 45

1x<y④ ③ 3 1>xz② 3 +0>y01 = +z①

y+)3 x(+y+)3 x(02 001=y+)3+x(

y

2

y+1+x2+x≤y+1+x2 x

0≥x0≥x4

1

00

)3(

2

于当相

1≤y+)1 x(=1 zy+)1+x(21+2z

2

2

22

2

2

2

22

νμ

2

2

c22=zeR

2

2

2

2

圆椭为集点

1=ω

z

2

2

22

)4(

2

轴y括包 面平半右

22

2

1=ω

z

2

题例上课见 3

形图么什为射映 数常

线直 下

在求 .4

程方么什足满

与

,下射映的

在 解

学物理的必须的

1=c4

1c2

)0,1(c2

=kxns=0x=xsocπik........,1±,00=

2

2

νc2+)21ω+μ μ(c22

c4c110≠e νμc4=x+)c2 (

μ11eR=zeR=ceR==

ν+μνi+μμ=w)ν+μ(c∴

由

0=xnisi+xsoc=程e方圆得可方配x过通

在即π)1+k(=x

xi222

)x2i(hc

有 ,

圆的为

径半 在心圆为面2平

)bi+a( nis。

数实何任对 明证试5

)xi(soc

)bi(isoc +b=i()soc和a+nise=)i=b+a(ons则1xhcn=e()exi时)aes+(1)(sci必 满同需

21=)xi(hcsoc=)e+e(x2

2bhsasoci+bhcanis=

若 法证反用 解

和

有即

的能可不是这

5 nl

xi

)i

(nl

)i (grAi+i nl= )e实i的 它(出nl写=)i数 列(nl算计6 部虚与部 值下

数实为b,a )3(1

.......,2±,1±,0=ksoc+))2(e +)e e(ae(1an is1 =

i2

π (2

)πk2+2i=

5

4

1 解

x

x

xiii

xiii

2

xi

xi

3

)i (grAi

4

b

b

b

b

学物理的必须的

]

)5 (grAi+5nl1=)e5 nl(1=5 nl22

......,2±

,1±,0=k

)πk+π(i+5nl1= 5

22)5 (grAi

续连否是 在存否是限极的点z在数函列下问试.7

[

0=z,)z z(1=)z(f)2(i2=z,yi+x2=)z(f)1

zzi2

l1等相i4-=)z(f与且 在存i4-=)z(fmi 解

果结

同不有式上 时值同不取k当 证可xk=y令要只 在存不yx2mil=)z(fmi l2

y+x

.0≠)z(f内域

邻δ的z在)z(f即,0>)z(f1>)z(f有即

2

。续连致一中1<z域区在z=)z(f明证试.9

有 ,时δ<''z 'z当 0>δ在存 0>ε给任明证须必 义定续连致一据根 证

关无''z 'z与而关有ε与有只δ中其 可即0ε<''z 'z=)''z(0f )'z(f00

2<''z+'z≤''z+'z 故,1<''z,1<'z点两的中1<z于对

z=z在)z(f设.8。0为不)z(f中域邻个一的z到找可 明证试 0≠)z(f且 续连2

00>δ在0定的续连由解有时ε<z z当 存,0>ε给任 知可义

ε<)z(f )z(f故 续连点z在)z(f由。)z(f1=ε取可 0≠)z(f设题

20

z→z

)z(f1=ε<)z(f )z(f有 时δ<z z 0>δ在存

2

式

两上立联)z(f )z(f≥)z(f )z(f得 式 41 的1.1用利

2

z即0→ 项移)z(f2 )z(f2≥)z(f2 )z(f2>)z(f有

0→x

0→y

时δ<''z 'z当则 ε=δ取选''z 'z2<''z 'z''z+'z=''z 'z而因

2

续连致一中1<z域区在z=)z(f即ε<''z 'z2<''z 'z有必

000

00

000

000

2

3.1.1 题习

。之算计试 在存否是限极列下问

2

2

1

22

222

学物理的必须的

1milz+1xk=

2

i→z

y

k

i zmil

1+z

zmil

z

0→z

3 2 1

ki 1xki x*zmil=mil=

zki+1xki+x

i+1→z

则 为率斜线直若 零于趋线直沿 z令 1 解

i 2=1=i i+1=i zmil

55i+21+i+11+z

。在存不限极故 同不值比 时值同不取 k当

δ<

z z

z=ω

z

0>δ

ε

z=ω

=ω∞=z1milz+1z0→

z=ω

*

0→z

ωz= 2

3 .2 1

i→z

4 z5ω=

1=1 z

i+1→z

>zε=)z(f )z(fε<δ<z z≤z0

z

1=z

续连否是面平全在数函列下问

3

2

2

数函 续连为仍乘自数函续连而 续连面平全在 。续连面平全在4

时

使

4

因 1 解

2

故

给任

。数导的z=)z(f算计发出义定数导由试.3

10 )zΔ面平全在z故立成意式上时( (任对1 (n+zΔzn+z +…+)zΔz)n z )zΔ+z(2 ==milmil)z('f 解

。续连zΔ

的

于小取

zΔ

导可处

除 。续连点

00

除面平全 3

zn=

n

nn2

2 n1 n

n

n

0→xΔ

n

0→xΔ

1 n

学物理的必须的

yx

0>y+x,

y+x =)y,x(u设 么什是义定性微可的)y,x(u数函元二变实.4

,0

0=y=x

2

2

2

2

2

称则 =ρε即亦 + xΔ =ρ当且 量小穷无阶高的ρ于关是 ρ 0→ yΔ

分微全的点)y,x(在)y,x(u为

称yΔu+xΔu且 微可)y,x(在)y,x(u

)y,x(u数函设假。微可不)y,x(u数函明证法证反用ydu+xdu=ud作记

+ xΔ ε+yΔ)0,0(u+xΔ)0,0(u=)0,0(uΔ设 微可 00 在 yΔ

yΔ xΔ yx=)0,0(u )yΔ,xΔ(u=)0,0(uΔ面方一令将并 式两上合综 + xΔ yΔ

22yΔ xΔ

= yΔ + xΔ 有 入代0=)0,0(u 0=)0,0(u

yΔ + xΔ

0于向趋不ε 0→xΔ当

1xΔ

=ε =xΔ2ε有 yΔ=xΔ取今y2x22

ρε+yΔu+xΔu=)y,x(uΔ若 数函元二为)y,x(u设 证

。微可不点 00 在)y,x(u数函明证试

.5并 值限极的时0于趋轴y及轴可x于行平z算计别分试 导可z点已)0,0(Δ)y,x(u)yz, x(f知u背.微不在即 设假的微在可 违

y出导等x相者两由。件条R-C

.xΔ=zΔ即

,0=yΔ令 1 解22

])y,x(vi+)y,x(u[ ])y,xΔ+x(vi+)yy,xΔ+x(u[x

mil=)z(f )zΔ+z(fmil=)z('f

xΔe=ω

Δ1zz=ωx=zω2=ωv u )y,x(v )y,xΔ+x(vyxuyxxu),(+),Δ+(zi+=imil++mil=

x x 2xΔ2xΔ

yΔi=zΔ即 ,0=xΔ令)2(

])y,x(vi+)y,x(u[ 2])yΔ+y,x(vi+)yΔ+y,x(u[)z(f )zΔ+z(fmil=)z('fmil=

22xΔzΔ

2 )y,x(u+)yyvu 2)y,x(v )yΔ+y,x(vΔ+y,x(umilx=mil+i =i++

y y yΔyΔ

。件条R-C 为即等相别分部虚与部实边两式等让 立联式两

z=w)5(

z

2

0→xΔ0→zΔ

4.1.1 题习

件条R-C足满处何在数函列下

0→xΔ

0→xΔ

1

4 3

0→yΔ

2

0→zΔ

1

0→yΔ0→yΔ

学物理的必须的

y νy+x=

2

yx2 =′μ) y+x(

xyi xμ==z=1=ωy+xy+xzz

x yx2 y+x =1

解′μ=*

2

′μy,1=0=′ν,=′ν2,0=′μ202′ν=)′μ22z2 )yi+x2(y2+x(=z2=ωx

22222μx+x=′νy3y+x=,yx2=′ν,yx2=′μ,y+x3=′μ

2ν2 y+yx=2.......y=2x22+x=yy +y3x3′ν=′μ

........0=yxyx2 =yx222′ν 2=′μx

0=y=x

。在存不数导偏 时当件条R-C足满0 =z 外除 然显

ω)ynisi+ysoc(e=e=e=

μ2 ynise=νysoce=μy=′xysoc e=y′ν,yn,ys2oce=′μxise=y′ν,yxnise

y(+)y+x(x yy2+)y+)x x(2

yx2+=xz)y0(=2)2y+x(2=2′ν20′=z)y+x(=νω02=ν,x2=μ,2x=2

′ν=′μ

x

2y

2

件条R-C足满不 处面平全故

2

3

2

3

2

2

y

x

2

2

y

22

2

3

x

2

1

2

即

即

)6+z4 z(=y)z(fx

x得

得

y

由由

)0,0(u )0,xΔ(uxyi+xzz2mil=)0,0=f 0 0 在使即 足满不处处面平全)5()(zu(点xΔz 1

件条R-C足满点

x

有只即。

的立联 2 1将

。限极的定确有没也x,

x

x

y

x

xΔ0 )xΔ(

mil=mil=

xΔ

y

xΔxx

4

x

平全在故

件

条R-C足满面

22

。数导的数函列下求试.2

2 1

0→xΔ

x

2

0→xΔ

0→xΔ

学物理的必须的

)2 z()6+z4 z(4=)4 z2()6+z4 z(2=)z(′f

2

1 解) ,ρ(ν 1μ ν μ ρ = ρ=ρ 2 ρ 2 2 nisρ=y, socρ=x

为件条R-C 中

标坐极在明证 3

2)1 (z2 )z 1(2=)z(′f

)z 1(=)z 1(2

μμμ xy nisμ + socμ =ynatcra+= ,y+=x=ρρρρ yxyxx 1 2 x ν 1ννy 1) y + x (ρ= ρ

ν ν ν ν 1 ρ ρ 证由 明变 过s通 发出曼s黎-西柯的+系标坐角直(由 [法=方ni换s代oc)ocnis x 量 y =件]条y 中)x 一ρ

ν 1μ ν

μ ν μ ρ=ρ x =y ,y =x

nisν + socν =y ν +x ν =ν ρρρyxyx 得

2

2

μ 1 ]) socρμy +) nisρ (x [ρ =

1

知件条R-C由

)1(

学物理的必须的

,y, == =eρi+ρx eρ ρρ e==yz x z ) ,ρ(μ=)z(f),(i+ ρν

ν i+μ =ω ρ e=z 0=

μ 1ν μ ν μ

μ nisμx + socy =

ν

ν 1μ i ) ρ+ ρ (

iν μ 知 )ρ i+ρ (

iiρ 0=νμ i+ ρ ei=z 件条R-C由 e=ρ emil=)z(′f i

μ i+ 二法方 ′fe=νz(

eρimil=)令

0→z

∴

ν 1ν

ρ=ρ

i

i

ν 1μ

ρ = ρ

i

0→ρ

1

i

i

0→

令 2

相部虚与部虚等相部实与部实的式两取 等相应式两上关无式方的

与数导于由

学物理的必须的

,)z,z(U= )z,z(y )z,z(x u=)y,x(u中式

式各上将 导偏的z对)z,z(F求)z,z(V= )z,z(y )z,z(x v=)y,x(v

f x f =0得入

代zzF)v i+u (1 )v i+u (1=y),(+= z y y y i2x x 2z x z

令即 量变立独的数函变复为作y,x代取z及z以.4

)z,z(F=)z,z(Vi+)z,z(U=)y,x(vi+)y,x(u=)z(f

。性越优何有件条此 价等件条R C与0=)z,z(F 明证

z

111=x得yi-x=z及yi+x=z用利 证y 1x =,=;) (=,)+(zzyzz

i22 2 z 2z

)z,z(F=)z,z(Vi+)z,z(U=)y,x(vi+)y,x(u=)z(f得 y,x代取z及z以

iv u 1ω 件条R-C得即 0为别分虚)v x()+u+yi+=y部i+y和x部=实ω式上由z z(=yy 2

ω x 2yi2=)yi x(x )yi+x(=

致导然必 z含显)z,z(F=)z(f数函变复若 =明ν表这=。μ然亦之反y2,0

≠0),(。等等,)z+z(1=zeR 导可=不必 zz=zzF′ν′′=′z =。=20 例,0,0ν,如μμ2z

1.1 题习yi+ 5.x= ω

y=ν,x=μ

y2=′ν,0=′ν,0=′μ,x2=′μ

0=z

yi+yx=ω

2

2

*

析解否是数函述下论讨试.1

3

2

1 1 解

2

yx

yx

2

2

2

2

。析解不 件条R-C足满不

yx

y

2

x

。析解不 件条R-C足满

于仅 3

学物理的必须的

y=ν,yx=μ

1=′ν,0=′ν,x=′μ,y=′μ0=z

yhsxsoc=

ν

0=)0(f,y+x

)x(g+ynise=)x(g+ydysoce=ν22

2222 1 x

ynise =x)x(′g+ynis 解eν2

c=)x(g,0=)x(′g2∴

νci+e=ci+)ynisi+ysoc(ey=i+z(f 数函和调为 2+yxu2==)ν

x

0=ν +ν yx

x

。析解不 件条R-C足满ysoce=u于仅

析解的应相它与求并 数函和调是函列下明证.2u数 +x =v)5(;i+1 =)i(f,yx y+ x=uu)4(0socsoc=ye ye=+y x ∫ 。数函

u

ysoce=ν =u x

y 1 3 2 x

ν ynise=uy =x

y2+yx2=ν

yx

vi+uy=)z(f

ysoce=u

x

x

1 得件条R-C由

2

xx

:分积y对 1将

xx

)x(g 求 2入代式上将

z

x

22

2

)2(

2

数函和调为

学物理的必须的

)y(g+x2+x=)y(g+xd)2+x2(=uc+y =)y(g∴,y2 =)y(′g c+y x2+x= 2u

)y2+yx2(νi+)c+y x2+x(∫=νi+u=)z(f

ν 1将yhsxsoc积= :分x对

ν u 2+x2=y =x

∫ν y2 =u =yx 1 得件条R-C由

2

ν ν 0=yhsx2soc+yhsxsoc =y +x

2

22)y(c=ν ,0=ug ν yhsxnis =uhcxc ==νy hsx=soxc i+c+yxnisso=iyy+x )z(f u=

)y(g+yhcxnis=)y(g+xdyhcxsoc2=u

yhsxnis=)y(′g+yhsxnis

)y(g 求 2入代式上将

)y(′g∴∴

3

222

数函和调为,

2

2 1 得件条R-C由

:分积x对 1 将

)y(g 求 2入代式上将