高二数学选修1 双曲线及其标准方程(2) ppt

双曲线及其标准方程(2)

复

习

双曲线的标准方程 形式一： 形式一： x y 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b F1 F 焦点在x轴上，(-c,0)、 2 c,0)) 轴上，( (焦点在x轴上，(-c,0)、 (c,0))2 2

形式二： 形式二： y 2 x2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a bF1 轴上，( )、(0, )) (焦点在y轴上，( ,-c)、( ,c)) 焦点在 轴上，(0, )、( F2

其中 a 2 = b 2 + c 2

例1:当0 ≤ θ ≤ 180 时,方程x cosθ +y sinθ =1的o o 22

曲线怎样变化.

提示：分类讨论

例2:求下列动圆圆心M的轨迹 (1)与圆C:(x+2)2 +y2 =4内切,且过点A(2,0); (2)与圆C1:x2 +(y-1)2 =1和圆C2:x2 +(y+1)2 =4都外切; (3)与圆C1:(x+3) +y =9外切,且与圆C2:(x-3) +y =1内切.2 2 2 2

y2 2 解 : (1) x = 1( x ≤ 1)(左支) 34x2 3 2 (2) : 4 y = 1( y > )(上支且在两圆外部) 3 4

x y (3) = 1( x ≥ 2). 4 5

2

2

方法：利用双曲线的定义求轨迹方程

练习： ABC中，B(4,0),C(-4,0),点A运动时, 1 满足sinB-sinC= sinA,求点A的轨迹. 2

x y 解 : AC AB = 4 < 8 = BC ,∴ Q = 1( x > 2). 4 12

2

2

x2 y 2 例3:双曲线 = 1的左右焦点为F1 , F2,点P在双曲线上， 9 16 且∠F1 PF2 =

π

2

, 求S F1PF2π3 , 求S F1PF2

解：S F1PF2 = 16.

y

变式:若∠F1 PF2 =

P.

解：设 | PF1 |= t1 , | PF2 |= t 2

由 曲 的 一 义 ： 双 线 第 定 得| t1 t 2 |= 6 由余弦定理得：π2 2

F1

.

O

.

F2

x

t + t 2 100 1 cos = 1 = 3 2t1t 2 21 π (t1 t 2 ) 2 + 2t1t 2 100 1 ∴ = t1t 2 = 64 ∴ S F PF = t1t 2 sin = 16 3 2 3 2t1t 2 2 b2 解：S F1PF2 = . 推广:若∠F1 PF2 = θ , 求S F1PF2 . θ tan 21 2

x2 y 2 x2 y2 例： 4 已知椭圆 2 + 2 =(a1 > b1 > 0)与双曲线 2 2 = 1 1 a1 b1 a2 b2 (a2 > 0,b2 > 0)有公共焦点F1、F2,设P是它们的一个 交点，试用b1、b2 表示△PF1 F2的面积。2 2 2 2 解 由题意得 a1 b1 = a2 + b2 = c2 a12 a22 = b12 + b22 :

,则由椭圆，双曲线定 义，得： 令 ∠F1PF2 =θ | PF1 | + | PF2 |= 2a1 及 | PF1 | | PF2 |= 2a2(令 | PF1 | > | PF2 | )

则 | PF1 |= a1 + a2, | PF2 |= a1 a2| PF1 |2 + | PF2 |2 | F1 F2 |2 在 △F1 PF2 中, cosθ= 2 | PF1 | | PF2 | 2 2 2 2 2 2 2a1 + 2a2 2 a1 b1 + a2 + b2 ) b12 b22 ( = 2 = 2 2 2 b1 + b2 2 a1 a2 ) (

∴ sinθ=

2b1b2 2 2 b1 + b2

2b b 2 2 ∴ S△PF1F2 = 1 | PF1 | | PF2 | sinθ= 1 a1 a2 ) 2 1 2 2 = b1b2 . ( 2 2 b1 + b2

x2 y 2 练习: 双曲线 2 = 1(b ∈ N * ),若 | PF1 || PF2 |=| F1 F2 |2 , 4 b 且 | PF2 |< 4,求 b

解： | PF1 | | PF2 |=| F1 F2 |2 = 4c 2 = 16 + 4b 2 Q由 | PF2 |< 4知，点P在双曲线右支

y

Px

由双曲线的第一定义得：

| PF1 | | PF2 |= 2a = 4∴16 + 4b 2 = (4+ | PF2 |) | PF2 |=| PF2 |2 +4 | PF2 |又 Q 4 + b 2 2 ≤| PF2 |< 4

F1

.

O

.

F2

∴ b ≤ 16 + 4b < 32 b < 42 2

2

所以b = 1

作业：测试反馈9