线性矩阵不等式1

鲁棒控制

－线性矩阵不等式处理方法

Robust control –LMI Method

主要内容

线性矩阵不等式概论 系统性能分析 控制器设计

线性矩阵不等式概论

线性矩阵不等式的一般表示

线性矩阵不等式：

F x F0 x1F1 xm Fm 0

x ( x1, , xm )T Rm 决策向量

Fi FiT Rn n 实对称矩阵

F x 是负定的

——仿射矩阵不等式

仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里， A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了 一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 f x1 xm b x1 A1 xm Am 0 其中 Ai 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。

凸（约束）问题

定义（凸集） 一个集合 C R k 称为凸的，如果集合中任意两点

的连线仍在集合内。

1 2 即任意给定两点 C 和 C C 及参数 [0,1],

有

C 1 C C

1 2

C 1 1 C 2称为 C 1 和 C 2 的凸组合。

将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中

关于凸集定义的理解

Schur补定理

引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵

X11 X T X12 X12 X 22

其中

X 11

为方阵，则以下三个条件是等价的：

a)

b) c)

X 0

T X11 0 ，且 X 22 X12 X111 X12 0

1 T X 22 0 ，且 X11 X12 X 22 X12 0

Schur补应用

若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立 AT P PA PBR 1BT P Q 0

只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立

AT P PA Q PB 0 T B P R

Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具

标准的线性矩阵不等式问题

Linear Matrix Inequality (LMI)

可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解

检验是否存在x，使得 F ( x) 0 成立。

特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解

min s.t.G( x) I H ( x) 0

广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化 问题

min s.t.G ( x) F ( x) F ( x) 0 H ( x) 0

系统性能分析

连续时间系统

3.1.1系统增益指标

考虑

x(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)

size( z ) size( w)

sup

w 0

L2范数

对于平方可积的信号 f ，定义 f 2 ( 0 f (t ) dt ) f (t ) f T (t ) f (t ) 是向量的欧式范数。这样 其中 定义的 f 2 正好是信号 f 的能量。将所有有限能量 的全体记成 L2 即 2

2 1 2

L2 { f :

2

0

f (t ) dt }

f

也称为信号 f 的 L2 范数

L∞范数

，定义 t 0 当 f 是一个标量信号时， f 等于 f 的峰值。 将所有幅值有界的信号全体记成 L 即 L { f :