线性代数第1章 行列式

第一章 行列式一. 行列式的基本概念 二. 行列式的性质与计算

三. 克莱姆法则

暨大珠院

一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 . 1 a 22 :

1 2

a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 ,a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,x 2,得

2 a 12 :两式相减消去暨大珠院

( a 11 a 22 a 12 a 21) x 1 b1 a 22 a 12 b 2 ;类似地，消去 x 1,得

( a 11 a 22 a 12 a 21) x 2 a 11 b 2 b1 a 21 ,

方程组的解为 当 a 11 a 22 a 12 a 21 0 时，x1 b1 a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21 , x2

a 11 b 2 b1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21

.

(3)

由方程组的四个系数确定.暨大珠院

定义: 由四个数排成二行二列

(横排称行、竖排称列)的数表a1 1 a 21 a1 2 a 22a 12 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 .

并规定： D

a 11 a 21

则 D 称为二阶行列式暨大珠院

a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2记D

a 11 a 21

a 12 a 22

, D1

b1 b2

a 12 a 22

, D2

a 11 a 21

b1 b2

.

则二元线性方程组的解为b1 x1 暨大珠院

a 12 a 22 a 12 a 22 ,

a 11 x2 D2 D a 21 a 11 a 21

b1 b2 a 12 a 22 .

D1 D

b2 a 11 a 21

3 x1 2 x 2 1 2, 例1 求 解 二 元 线 性 方 程 组 2 x1 x 2 1 .解

D 12 1

3 2

2 1

3 ( 4) 7 0,

D1

2 1

14 , D 2 14 7 2, x 2

3 2

12 1

21 , 21 7 3.

暨大珠院

x1

D1 D

D2 D

二、三阶行列式 定义：由9个数排成3行3列构成的数 表，并规定a 11 D a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

a1 1 a 2 2 a 3 3 a1 2 a 2 3 a 3 1 a1 3 a 2 1 a 3 2 a1 1 a 2 3 a 3 2 a 1 2 a 2 1 a 3 3 a 1 3 a 2 2 a 3 1,

称为三阶行列式.暨大珠院

对 a 11 a 12 a 13 角 a 21 a 22 a 23 线 法 a 31 a 32 a 33 则 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32

a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号. 说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,暨大珠院

不同列的三个元素乘积,其中三项为正,三项为负.

1

2 2 4

-4 1 -2

例2

计算三阶行列式

D -2 -3

解 按对角线法则，有

D 1 2 ( 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2) 4 1 1 4 2 ( 2) ( 2) ( 4) 2 ( 3) 4 6 32 4 8 24 14 .暨大珠院

1

1 3 9

1 x 0. x2

例3 求解方程 解: 方程左端

2 4

D 3 x 4 x 18 9 x 2 x 122 2

x2

2

5 x 6,x 2 或 x 3.

由 x 5 x 0 解得

暨大珠院

利用三阶行列式求解三元线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 D a 21 a 31

系数行列式暨大珠院

0,

b1 D 1 b2 b3

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 , a 33

则解为:

a 11 D 2 a 21 a 31

b1 b2 b3

a 13 a 23 , a 33

a 11 D 3 a 21暨大珠院

a 12 a 22 a 32

b1 b2 . b3

a 31

D1 x1 , D D2 , x2 D D3 x3 . D

例4 解1

x1 2 x 2 x 3 2, 解线性方程组 2 x 1 x 2 3 x 3 1 , x x x 0. 1 2 3

由于方程组的系数行列式 2 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1

D 2 1暨大珠院

2 2 1 1 3 1 5 0,

同理可得

2 D1 1 0

2 1 1

1 3 1 5,

故方程组的解为:

x1 x2

D1 DD2 D D3D

1, 2, 1.

1 D2 2 11 D3 2暨大珠院

2 1 0 2 1 1

1 3 1 2 1 0 10 ,

x3

5,

1

排列与逆序定义1:由自然数1,2 , ·· , n组成 ·· ··的一个有序数组称为一个n 级排列。

例如： 12345

51234

53214

都是数1,2, 3 , 4 , 5的5级排列。暨大珠院

n个数的不同排列有n! 个。自然排列： 按数的大小次序，由小到大排列。

n元排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n元排列都一定出 现较大数码排在较小数前面

暨大珠院