二阶矩阵与平面向量

【知识网络】

1、矩阵的概念和表示方法，及其矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义和表示；

2、二阶矩阵与平面列向量的乘法规则及其几何意义；

3、矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。

【典型例题】

2

例1 （1）设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素aij i j,i 1,2;j 1,2，则A=（

2 5 2 3 2 6 2 2

A、 3 6 B、 5 6 C、 3 5 D、 6 5

答案：B。解析：i,j分别表示元素aij所在的行与列。

（3）由矩阵 1 1 2 1 2 2 所表示的三角形的面积是 （ ）

11

A、2 B、1 C、2 D、4

答案：C。解析：矩阵表示三个点（1，1），（1，2），（2，2）构成的三角形。

x

（5）已知变换 x 3 1 x

y y 0 2 y ，将它写成坐标变换的形式是 。

x x

答案： 3x+y

y y 2y 。

sin2 sin +cos 1

cos2 sin -cos a

例2 设矩阵 2 b c ，且0 ，试求a,b,c。 sin cos 1,0 , 13

答案：由已知21 sin2 4,sin2 4, 2,

0sin cos ∴sin cos ，从而2

sin 11

∴4,cos

4cos2 ，从而4，

a 3,b c ∴4。 ）

1 3 1 2 5 2 ，并解释计算结果的几何意义。 例3 计算

1 3 1 1 ( 1) 3 2 5 1 3 2 5 2 2 ( 1) 5 2 8 2 5 作用下变成了点（5，8）答案：。它表示点（—1，2）在矩阵 。

1 2 1 1 对应的变换作用下 例4 设平面上一矩形ABCD，A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)，在矩阵

依次得到A,B,C,D。（1）求A,B,C,D的坐标；

（2）判断四边形A,B,C,D的形状，并求其面积。

1 2 0 0 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 0 2 1 1 0 0 , 1 1 0 2 , 1 1 1 3 , 1 1 1 1 , 答案：（1）∵

∴A(0,0),B(2,2),C(4,3),D(2,1)

（2）∵ kA B 1,kC D

1,且|A B | |C D | ，∴A B C D 是平行四边形

SA B C D 2x y 0

ABDAB又∵直线方程为，∴到直线的距离为∴。

【课内练习】

1、已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB的列向量为 （ ）

2 2 3 5 5 3 1 1 1 2 2 1 A、 B、 C、 D、

2 1 AB (2,1)答案：A。解析：∵，所求列向量为 。

4、某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S，黄灯3S，红灯20S，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用2 3矩阵表示该路口的时间设置为 。

1 0 -1 30 3 20 。 答案：

1 0 0 2 对应的变换作用下得到的点坐标为 。 5、点A(3,4)在矩阵

1 0 3 1 3 0 4 3 0 2 4 0 3 2 4 8 。 答案：（3，8）。解析：

x x 2x 3y y y x y ，将它写成矩阵的乘法形式是 。 6、已知

x x 2 3 x y y 1 1 y 。 答案：

ij,i jaij i j,i j，其中i,j 1,2,3，那么A中所有元素之和7、设矩阵A为3 3矩阵，且规定其元素

为 。

答案：38。解析：由题意知 1 3 4 A 3 4 5 4 5 9 ，故A中所有元素之和为38。

1 2 A 4 3 ，求在矩阵A对应的变换作用下得到点(5,15)的平面上的点P的坐标。 8、设

1 2 x x 2y 5 x 2y 5 x 3 4 3 y 4x 3y 15 , 4x 3y 15 y 1P(x,y) 答案：设，则

∴所求点P的坐标为（3，1）。

3 1 1 0 x 2y 1 0 的变换后的图形的方程式。 10、求直线经二阶矩阵

答案：设变换后的图形上的任一点为(x,y)，与之对应的原直线上的点为(x,y)，

3 1 x 3x y x 3x y x x y 1 0 y x y x yy x 3y，∵(x ,y )在直线x 2y 1 0上， ，∴ 则 即

∴y 2(x 3y) 1 0即2x 7y 1 0这就是变换后图形的方程式。

【作业本】

A组

3 2 A -1 1 ，若点P经过矩阵A变换后得到点(5,5),.若P点坐标为(x,y)，则x y （ ） 2、设

A、—3 B、3 C、—2 D、2

3x 2y 5 x y 5，解得x 1,y 4，故x y 3。 答案：B。解析：由已知得

1 2 3 4 A(1, 1),B(0,1),C(2,0) 变换后，新图形的面积为（ ） 3、若△ABC的顶点，经

A、2 B、3 C、4 D、6

1 2 1 1 1 2 0 2 1 2 2 2 3 4 1 1 , 3 4 1 4 , 3 4 0 6 答案：B。解析：∵

∴A( 1, 1),B(2,4),C(2,6)，易知 S A B C 3。

a11x a12y b1 ax a22y b26、请用矩阵表示二元一次方程组 21

a11 a12 x b1 a a y b

答案： 2122 2 。

7、求矩阵A，使点A(0,3),B(—3,0)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A(1,1),B( 1,2)。

a b a b 0 3b 1 a b 3 3a 1 A c d ，则 c d 3 3d 1 ， c d 0 3c 2 答案：设

11 3 3 112b d ,a ,c , A 21333 33 ∴

2 0 A 0 1 22x y 1 对应的变换后的曲线方程。 8、试求圆经

2 0 0 1 P(x,y)00 对应的变换下变为另一点P (x,y)，则答案：设为已知圆上的任意一点，在矩阵

x x 0 x 2x0 x 2 0 x0 2 y 0 1 y 2222 0 ，即 y y0，∴ y0 y又∵点P在曲线x y 1上，∴x0 y0 1， x2x2

2 y 1 y2 122故有4，即圆x y 1经矩阵A对应的变换下变为椭圆4。

B组

3x 2y 4 2x y 6中x,y的系数按原有次序排列，可得到矩阵是 （ ） 1、方程组

3 2 3 2 3 4 2 4 2 1 2 -1 2 6 -1 6 A、 B、 C、 D、

答案：B。

a b 0 1 对应的变换下，将直线6x 5y 1变成2x y 1，则a b （ ） 3、在矩阵

4

A、0 B、1 C、3 D、2

答案：A。解析：设直线6x 5y 1上任一点P(x,y)经变换后，变为P (x0,y0)，

a b x ax by x0 x0 ax by 0 1 y y y , y y 0 0则 ，又P′在直线2x y 1上，

∴2x0 y0 1，从而2(ax by) y 1即2ax (2b 1)y 1与6x 5y 1是同一条直线

2a 6 a 3, a b 0 b 32b 1 5∴ ，从而 。

4、坐标平面上的任一点，在矩阵A对应的变换下，横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的5倍，则A= 。

3 0 0 5 。 答案：

1 3 3 1 1 2 3 4 表示平面中的图形的面积为 。 5、由矩阵

答案：4。解析：在平面直角坐标系中，作出点(1,1),(3,2),(3,3),(1,4)，易知该图形是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形。

3 1 A 1 2 ，7、设设阵（1）求点P(2, 3)经过A对应的变换后的点坐标。

（2）又P在直线L：2x y 3上，求L上所有点经过矩阵A对应的变换后所形成的新图形L′的方程。

3 1 2 3 2 1 ( 3) 3 1 2 3 1 2 2 ( 3) 4 ∴变换后的点坐标为(3, 4)。 答案：（1）∵

（2）设M(x0,y0)是直线L上的任一点，在矩阵A对应的变换作用下得到点M (x,y)，则

2x y x 3x0 y0 x 05, 3x0 y0 x 3 1 x0 x0 2y0 y y 3y x 1 2 y x 2y y 0 5 0 00 ，∴

∵M(x0,y0)在直线L：2x y 3上，∴2x0 y0 3 2 2x y3y x 355，即x y 3，∴所求的L′方程为x y 3 0。 ∴

a c b 0 所对应的变换，已知A(1,0)且T(A) P 8、设T是矩阵

（1）设b>0，当△POA

POA 3，求a,b的值；

（2）对于（1）中的a,b值，再设T把直线4x y

0 y 0，求c的值。

a c 1 a S POA POA , a 2,b b 0 0 b 答案：（1）∵ ，∴P(a,b) ∵b>0

，3

2 c x0 2x

（2）设直线4x y 0上任一点(x0,

4x) 0 4cx0

0，则 4x0 0

∴(2x0

4cx00) y

0上，∴(2 4c 0,c 1。