第一章 导数及其应用

1.5.2

汽车行驶的路程

复习回顾 1.用极限逼近思想求曲边梯形面积 的基本步骤是什么？

分割→近似代替→求和→取极限.,

2.若已知物体的运动路程s与时间t 的函数关系：s=f(t),如何求物体在某 时刻t0的瞬时速度？ v=f ′(t0)

3.若已知物体的运动速度v与时间t 的函数关系：v=f(t),那么f ′(t0)的含 义是什么？

f ′(t0)表示加速度

思考：汽车行驶的路程

汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间 t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速 直线运动，那么在相同时间内所行驶的 路程相等吗？s = vt 不相等

思考：已知汽车作变速直线运动，在时 刻t(单位：h)的速度为v(t)=-t2+2 (单位：km/h),那么它在0≤t≤1这段时 间内行驶的路程s是多少？

为了计算汽车在0≤t≤1时段内行驶 的路程，将区间[0,1]等分成n个小 区间，那么各个小区间对应的时段

分别是：

1 1 2 n- 1 [0, ],[ , ], L [ ,1] n n n n

当n很大时，在每个小区间上，由于v(t) 的变化很小，可以认为汽车近似于以左 端点时刻对应的速度作匀速直线运动， 则汽车在上述各时段内行驶的路程的近 似值分别为：1 1 1 2 2´ [- ( ) + 2] [, , n n n n- 12 …, [- ( ) + 2] n

2 2 1 ( ) + 2] , n n1 n

计算汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程 的近似值结果是：

(n - 1)n (2n - 1) sn = + 2 3 6n利用极限逼近思想，汽车在0≤t≤1时 段内行驶的路程为：1 1 1 5 s = lim sn = - lim (1 - )(2 - ) + 2 = (km ) n n 6 n n 3

若汽车在时刻t的速度为v(t)=t2+2, 那么汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程 为：1 1 1 7 s = lim sn = lim (1 - )(2 - ) + 2 = (km ) n n 6 n n 3

汽车行驶路程的拓展探究 思考1:在每个小区间上，如果认为汽车 近似于以右端点时刻对应的速度作匀速 直线运动，那么汽车在前述各时段内行 驶的路程的近似值分别为多少？

1 2 1 2 2 1 ,L , [- ( ) + 2] , [- ( ) + 2] n n n n 1 n- 12 1 [- ( ) + 2] , 1´ . n n n

思考2:汽车在0≤t≤1时段内行驶的路 程如何计算？其结果是什么？

(n - 1)n (2n - 1) 2n - 1 sn = + 3 6n n

5 s = lim sn = (km ) n 3

思考3:由直线t=0,t=1,v=0和曲线 v=-t2+2围成一个曲边梯形，那么图 中各小矩形的面积有什么物理意义？ 汽车在各时段内 行驶的路程的近 似值.2y y=-t2+2

O

1

t

思考4:汽车在0≤t≤1时段内行驶的路 程，在数值上与这个曲边梯形的面积有 什么关系？ 相等

理论迁移

6 刻t(单位：h)的速度为v(t)= t 2

例 一辆汽车作变速直线运动，在时

(单位：km/h),求汽车在1≤t≤2时段内 行驶的路程. y 6 v = 2 t s= 3O1 2

t

小结作业 1.求变速直线运动的物体在某时段内 所走过的路程，可以用“以匀代变”和 “极限逼

近”的数学思想求解，其操作 步骤仍然是：分割→近似代替→求和→ 取极限. 2.在平面直角坐标系中，若横轴表示 时间，纵轴表示速度，那么求变速直线 运动的物体在某时段内所走过的路程， 可转化为求曲边梯形的面积，二者对立 统一.