高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第7章 微分方程

第十二章 微分方程

内容概要

§12.1微分方程的基本概念 内容概要

课后习题全解

1． 指出下列微分方程的阶数：

知识点：微分方程阶的定义

★（1）

x(y )2 4yy 3xy 0；

解： 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。 注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。

例：（错解）方程的阶数为2。( (y ))

★（2）

2

xy 2y x2y 0；

解： 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴ 方程的阶数为2。

★（3）

xy 5y 2xy 0；

解： 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。

★（4）

(7x 6y)dx (x y)dy 0。

(n)

思路：先化成形如 F(x,y,y , ,y解：化简得

) 0的形式，可根据题意选x或y作为因变量。

dy6y 7x

， 出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。 dxx y

2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

知识点：微分方程的解的定义 。

思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。

★（1）

xy 2y， y 5x2；

解：将y 10x， y 5x2代入原方程得

左边 所以

★（2）

x 10x 2 5x2 2y 右边，

y 5x2是所给微分方程的解。

y 2y 0,y C1cos x C2sin x；

解： y C1sin x C2cos x，

将

y 2C1cos x 2C2sin x，y C1cos x C2sin x ，

代入原方程得 ： 左边 所以

★ （3）

y 2y 2C1cos x 2C2sin x 2(C1cos x C2sin x) 右边，

y C1cos x C2sin x是所给微分方程的解。

y

22y

y 2 0,y C1x C2x2； xx

2

解：将y C1x C2x，y C1 2C2x ，y 2C2 ，

代入原方程得：

2C1 4C2x2(C1x C2x2)22y

0 右边 左边=y y 2 2C2

xxxx2

所以

★（4）

y C1x C2x2是所给微分方程的解。

y ( 1 2)y 1 2y 0 y C1e 1x C2e 2x ；

1x

解：将y C1e

C2e 2x，y C1 1e 1x C2 2e 2x，y C1 12e 1x C2 22e 2x，

代入原方程得： 左边

y ( 1 2)y 1 2y

2

2

C1 1e 1x C2 2e 2x ( 1 2)(C1 1e 1x C2 2e 2x) 1 2(C1e 1x C2e 2x)

所以

0 右边 ，

y C1e 1x C2e 2x是所给微分方程的解。

★★ 3. 验证由方程

y lnxy所确定的函数为微分方程(xy x)y xy 2 yy 2y 0 的解；

解： 将y lnxy的两边对x求导得： y

再次求导得：

11y y ，即y 。 xyxy x

y (xy x) y(y xy 1) xy y2 y1x2

y ( y yy y )。 22

xy xy(xy x)(xy x)

注意到由

y

11x

y ，可得 y xy 1， xyy

所以

y

11

[ (xy 1)y yy y ] ( xy 2 yy 2y )，

xy xxy x

xy 2 yy 2y 0 ，

从而 (xy x)y 即由

y lnxy所确定的函数是所给微分方程的解。

注：在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。

★ 4.

y Cx

1C

（C是任意常数）是方程xy

yy 1 0的通解，求满足初始条件yx 0 2的

特解。

解：将初始条件y

x 0

2，代入通解得 2

1C

，从而C

1， 2

所以所求特解为

★5.

y

1

x 2。 2

y (C1 C2x)e x（C1,C2为任意常数）是方程y 2y y 0的通解，求满足初始条件

yx 0 4,y x 0 2的特解。

解：将yx 0 4，代入通解得 C1 4， 所以 y C2e

将

x

(4 C2x)e x，

y x 0 2，代入上式得 2 C2 4，所以 C2 2，

所以所求特解为

★★6.设函数

y (4 2x)e x。

2

y (1 x)3的通解，求u(x)。 1 x

y2

(1 x)u(x)， 解： 由题意得 y (1 x)u (x) 2(1 x)u(x)，即

1 x

y (1 x)2u(x)是方程y

代入所给微分方程得 (1 即 u (x)

x)2u (x) 2(1 x)u(x) 2(1 x)u(x)=(1 x)3，

1 x，

x2

积分得 ：u(x) (1 x)dx= x C (C为任意常数)即为所求。

2

★★7 曲线上点

P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分，试写出该曲线满足的微

分方程。

解：设曲线为y y(x)，则曲线上点P(x,y)处的法线斜率为

1， y

由题目条件知PQ中点的横坐标为0，所以Q点的坐标为( x,0)， 从而有 即

y 0

1， x xyyy 2x 0 为该曲线满足的微分方程。

f(x)使它满足 f(tx)dt f(x) xsinx。

01

★★★8.求连续函数

思路：利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条

件。

解：令u tx，则du xdt ，且有t 0,u 0，t 1,u x，

原方程化简为即

x

1

f(u) du f(x) xsinx，

x

x

f(u)du xf(x) x2sinx，

两边关于x求导得化简得

f(x) f(x) xf (x) 2xsinx x2cosx，

f (x) 2sinx xcosx，

两边积分得

f(x) ( 2sinx xcosx)dx cosx xsinx C 即为所求函数。

§12.2 可分离变量的微分方程

内容概要

课后习题全解

2． 指出下列微分方程的通解：

知识点：可分离变量微分方程的解法。

★ （1）

xy ylny 0；

解： 分离变量得

1dy 1dx，

ylnyx

1dy 1dx，

两边积分得 xylny

求解得 lnln从而 lnln

y lnx lnC

，即ln

，

y lnCxy Cx，

故通解为

y eCx。

注：积分出现对数形式时，绝对值符号可以忽略，并不影响结果的正确性。例：lnlny lnx lnC

改写为ln(ln

★（2）

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